BÀI 4 +5+6 : Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – tiếp tuyến của đường tròn

BÀI 4

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

–o0o–

Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn :

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. OH là khoảng cánh từ tâm đến dây đường thẳng AB.

Nếu OH < R thì : đường thẳng AB cắt  (O) tại hai điểm A và B.

Nếu OH > R thì : đường thẳng AB không cắt  (O).

Nếu OH = R thì : đường thẳng AB tiếp xúc (O) tại một điểm C.

• đường thẳng AB gọi là tiếp tuyến.
• điểm C gọi là tiếp điểm.

Định lí :

đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Bài 5 + 6

Dấu hiệu và tính chất của tiếp tuyến

–o0o–

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn :

Định lí : Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

M thuộc (O) và AB vuông góc OM tại M.

= > AB là tiếp tuyến của (O).

Định lí : hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì :

• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ta có :

Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) tại A, B.

Ax cắt By tại M

= > MA = MB và OM là tia phân giác của góc AOB.

========================================

BÀI TẬP SGK

BÀI 21 TRANG 111 :

Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 BC = 5. Vẽ đường tròn (B, BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (B).

 GIẢI.

Xét tam giác ABC có :

BC² = 5² = 25

AB² + AC² = 3² + 4² = 25

= > BC² = AB² + AC²

= > tam giác ABC vuông tại A.

= > ACAB tại A.

Mà : A thuộc (B, BA)

Suy ra : AC là tiếp tuyến của (B, BA).

BÀI 24 TRANG 111 :

Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại C.

a)      Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b)      Cho bán kính đường tròn bằng 15cm, AB = 24cm. tính OC.

Giải.

a) CB là tiếp tuyến của đường tròn.

Ta có : đường kính OC dây AB (gt)

= > OC đi qua trung điểm E của AB

= > OC là đường trung trực AB.

= > CA  = CB.

Xét ΔOAC và ΔOBC, ta có :

CA  = CB (cmt)

OA = OB (bán kính)

OC chung.

= > ΔOAC = ΔOBC

= >

Mà :

= > hay OB BC tại B

Mặt khác : B thuộc (O, OB)

Vậy : BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b)Tính OC

ta có : AE = AB/2 = 12cm.( E trung điểm của AB)

OA² = OE² + AE² (pitago)

= >  OE²= OA² – AE² = 81 = > OE = 9cm.

Mà : OA² = OE.OC hay 15² = 9.OC = > OC = 25cm

BÀI 26 TRANG 115 :

Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a)      Chứng minh rằng OA vuông góc BC.

b)      Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song AO.

c)      Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. Biết OB = 2cm, OA = 4cm.

Giải.

a)      Chứng minh rằng OA vuông góc BC.

Ta có : OB = OC (bán kính)

AB = AC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

= > OA là đường trung trực BC

= > OA BC tại E (1)

b)Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song AO.

Ta có : tam giác CDB nội tiếp (O) đường kính CD(gt)

= > tam giác CDB vuông tại B. hay BD BC (2)

Từ (1) và  (2) suy ra : OA // DB (cùng vuông góc BC)

c)Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

ta có : OA² = OB² +BC² (pitago)=>  BA² = OA² – OB² = 16 – 4 = 12cm

= > AB = = 2cm

Mà : AC = AB = 2

Theo hệ thức lượng : OA.EB = OB.BC <=>4.EB = 2. 2

= > BE =  cm

BC = 2.BE = 2cm

==============================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 ( 3,5 điểm) :

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

1. Chứng minh bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn . xác định tâm I của đường tròn đó.
2. Chứng minh AH vuông góc BC.
3. Cho góc A = 60⁰, AB = 6cm. tính BD.
4. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (I).

Bài 2 ( 4 điểm) :

Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên cung AB sao cho AB < AC.

a)      Chứng minh tam giác ABC vuông.

b)      Qua A vẽ tiếp tuyến (d) với đường tròn (O), BC cắt (d) tại F. Qua C vẽ tiếp tuyến (d’) với đường tròn (O), (d’) cắt (d) tại D. Chứng minh : DA  =DF.

c)      Hạ CH vuông góc AB (H thuộc AB), BD cắt CH tại K. Chứng minh K là trung điểm CH.

d)     Tia AK cắt DC tại E. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O) , suy ra  OE // CA.

Bài 3 :

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R . Vẻ các tiếp tuyến AB ; AC với (O) ( B ; C là các tiếp điểm )

a) C/m: Tam giác ABC đều

b) Từ O kẻ đường vuông góc vớiOBcắt AC tại  S . C/m : SO = SA

c) Gọi I là trung điểm của OA . C/minh SI là tiếp tuyến của (O)

d) Tính độ dài SI theo R

Bài 4 : (4 đ)

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.H là trung điểm của OB.Qua H vẽ dây CD vuông

góc vơi AB.

a)    Chứng minh tam giác OCB đều.

b)    Tính đô dài AC và CH theo R.

c)    Tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở I.Chứng tỏ 3 điểm O,B,I thẳng hàng và

       4HB.HI = 3R²

d)    Đường vuông góc với AD kẻ từ H cắt CB ở E.OE cắt CI tại K.Chứng minh KB

      là tiếp tuyến của (O) và B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD.

Bài 4 : (3,5 điểm)

Từ một điểm A ở ngoài (O; R), kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Đường thẳng qua B và vuông góc với AO tại H cắt (O) tại C. Vẽ đường kính BD của (O).

a) Chứng minh ΔBCD vuông.

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).

c) Chứng minh DC. AO = 2R² .

d) Biết OA = 2R. Tính diện tích ΔBCK theo R.

Bài 5.

Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là hai tiếp điểm),OMcắt AB tại H.

1)    Chứng minh H là trung điểm của AB.

2)    Trên đường thẳng AB lấy điểm N (với A nằm giữa B và N). Từ M kẻ một đường thẳng vuông góc với ON tại K và cắt AB tại I. Chứng minh 5 điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

3)    Chứng minh : NA.NB = NI.NH

4)    Tia MK cắt đường tròn (O) tại C và D (với C nằm giữa M và D). Chứng minh NC và ND là hai tiếp tuyến của đường tròn (O).

bài 6 : (3,5đ)

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)

a)      Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.

b)      Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.

c)      Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.

Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.

d)     Tính diện tích AJIB theo R.

BÀI 7 :

Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vớiOM= 2R từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là hai tiếp điểm)

e)      Chứng minhOM┴ AB. Tính MA theo R.

f)       Đường thẳng vuông góc OA tại O cắtMBtạiI.chứng minh ∆MOI cân.

g)      Gọi H là giao điểm củaOMvới cung nhỏ AB, tia IH cắt MA tại J.

Chứng minh tứ giác OIMJ là hình thoi.

h)      Tính diện tích AJIB theo R.

Bài 8: ( 4 điểm)

Cho có 3 góc nhọn, đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và D; BD và CE cắt nhau tại H.

a) C/m:

b) C/m: A, E, D, H cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này

c) Gọi K là trung điểm DE. C/m: I, K, O thẳng hàng

d) Cho biết , tính DE theo R

Bài 9 :  (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O ; R) và một điểm D nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến DB, DC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Vẽ đường kính BOA. Tia phân giác của góc AOC cắt đường thẳng CD ở E.

a)    Chứng minh OD là đường trung trực của BC

b)    Chứng minh AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c)     Tính góc DOE và chứng minh BD.AE = R²

d)    Đặt . Chứng minh: ED = R : (sin . cos)