Bài 1 : Tính đơn điệu của hàm số.

Bài 1

Tính đơn điệu của hàm số.

–o–

Định nghĩa :

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K.

Hàm số được gọi là đồng biến trên K nếu :

x1, x2 \in K :   x1 < x2 => f(x1)< f(x2) .

Hàm số được gọi là nghịch biến trên K nếu :

x1, x2 \in K :   x1 < x2 => f(x1)> f(x2) .

định lí : (ứng dụng đạo hàm)

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

  • Nếu f’(x) > 0 với x \in I thì hàm số f đồng biến trên I.
  • Nếu f’(x) < 0 với x \in I thì hàm số f nghịch biến trên I.
  • Nếu f’(x) = 0 với x \in I thì hàm số f không đổi trên I.

ứng dụng :

xét tính biến thiên hàm số dưới dạng bảng biến thiên.

Định lí :

Nếu hàm sô f(x) liên tục và đơn điệu trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì f(x) = 0 có duy nhất một nghiệm thuộc (a, b).

======================

Câu hỏi và bài tập :

Bài 1 : trang 7 sgknc : xét chiều biến thiên của hàm số sau :

a)      y = 2x3 + 3x2 + 1

c)      y=x+\frac{3}{x}

f) y=\sqrt{4-x^2}

giải.

MXĐ : D = R.

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 6x2 + 6x

Cho y’ = 0 <=> 6x2 + 6x = 0 <=> x1 = 0 v x2 = -1

  • Khi  x1 = 0 => y1 = 1
  • Khi  x2 = -1 => y2 = 2

Bảng biến thiên :

x

-∞ 0 1 +∞

y’

       + 0         - 0         +

y

       \nearrow 1   \searrow   2    \nearrow

Kết luận :
hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ , 0) v (1, +∞).
hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 1).

——————————————————————————————

c)      y=x+\frac{3}{x}

giải.

MXĐ : D = R\{0}.

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 1-\frac{3}{x^2}=\frac{x^2-3}{x^2}

Cho y’ = 0 <=> x2 – 3 = 0 <=> x1 = \sqrt{3}  v x2 = -\sqrt{3}

Khi  x1 = \sqrt{3} => y1 = 2\sqrt{3}

Khi  x2 = -\sqrt{3}  => y2 = -2\sqrt{3}

Bảng biến thiên :

x

-∞ -\sqrt{3} 0 \sqrt{3} +∞

y’

       + 0         -

-

||

0         +

y

          \nearrow

-2\sqrt{3}    \searrow

||   \searrow

   2\sqrt{3}     \nearrow

Kết luận :

hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ , -\sqrt{3}) v (\sqrt{3}, +∞).

hàm số nghịch biến trên khoảng (-\sqrt{3}, -\sqrt{3})\{0}.

——————————————————————————————————

f)y=\sqrt{4-x^2}

MXĐ : D

Đk : 4 –x2 ≥ 0 <=> -2 ≤ x ≤ 2

=> D = [-2, 2]

Đạo hàm cấp 1 : y’ = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}

Cho y’ = 0 <=> – 6x = 0 <=> x = 0 => y  = 2

Bảng biến thiên :

x -2 0 2
Y’

+

0

-

y 0

\nearrow

2

\searrow

0

kết luận :

hàm số đồng biến trên khoảng (-2 , 0)

hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài 8 trang 8 : chứng minh bất đẳng thức :

sinx < x với mọi x > 0

sinx > x với mọi x < 0

giải.

xét hàm số : y = f(x) =  x – sinx

MXĐ : D = R

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 1 – cosx

Mà : cosx ≤ 1 luôn đúng mọi x <=> 1 – cosx  ≥ 0

=>  y’ ≥ 0 x mọi x.

=> y = f(x) =  x – sinx đồng biến trên khoảng D.

Ta có : 0 < x => f(0) < f(x)

<=> 0 –sin0 < x – sinx

<=> 0 < x – sinx

<=> sinx < x  đpcm. (1)

Ta có :  x < 0 => f(x) < f(0)

<=> x – sinx < 0 – sin0

<=>  x – sinx < 0

<=> sinx > x  đpcm. (2)

từ (1) và (2) :  sinx < x với mọi x > 0 ; sinx > x với mọi x < 0

======================================

DẠNG hàm số đơn điệu trên miền xác định :

Bài 1 : Xác định m hàm số  luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.

a)      y = x3 + 2x2 + 3(m + 1)x – m .

b)      y=\frac{x+2m}{x-m}

c)      y=\frac{x^2-x+m}{x-2}

Giải.

a)      y = x3 + 2x2 + 3(m + 1)x – m .

TXĐ : D = R.

đạo hàm cấp 1 :  y’ = 3x2 + 4x + 3(m + 1)

Để hàm số luôn luôn đồng biến trên R khi : y’ > 0 mọi x thuộc D.

Hay : 3x2 + 4x + 3(m + 1) > 0 mọi x thuộc R.

khi : Δ’ < 0 và a > 0

4 – 9(m + 1) < 0 và 1 > 0

m > -5/9

vậy : m > -5/9

b)      y=\frac{x+2m-3}{x-m}

TXĐ : D = R\{m}.

đạo hàm cấp 1 :  y'=\frac{3-3m}{(x-m)^2}

Để hàm số luôn luôn đồng biến trên D khi : y’ > 0 với mọi x thuộc D.

Hay : \frac{3-3m}{(x-m)^2}>0

3 – 3m > 0 <=> m < 1

vậy : m < 1.

c)      y=\frac{x^2-x+m}{x-2}

TXĐ : D = R\{2}.

đạo hàm cấp 1 :  y'=\frac{ x^2-4x-m+2 }{(x-2)^2}

Để hàm số luôn luôn đồng biến trên D khi : y’ > 0 với mọi x thuộc D.

Hay : \frac{ x^2-4x-m+2 }{(x-2)^2}>0

x2 – 4x – m + 2 > 0  với mọi x thuộc D

nên : Δ’ < 0 và a > 0 <=> m + 2 < 0

vậy : m < -2.

Bài 2 :

===============================================

Cao Đẳng 2012 A – đáp Án :


================================================

Kiểm tra chất lượng đầu năm 2012 – 2013

môn toán lớp 12

Thời gian : 90 phút.

A phần chung dành cho tất cả thi sinh (8 điểm )

Câu 1 : (3 điểm )

  1. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1. Tìm m hàm số đồng biến trên R.
  2. Chứng minh hàm số y = x3 + x – cosx – 4 đồng biến trên R.
  3. Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.

Câu 2 : (3 điểm )

  1. Xác định m để hàm số y = \frac{1}{3}x3 + mx2 + (m + 6)x – 1 có đạt cực đại và cực tiểu.
  2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = x + \sqrt{4 - x^2}
  3. Tìm giá trị của m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

Câu 3 : (2 điểm )

Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên a\sqrt{2} .

  1. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
  2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

B Phần riêng (2 điểm). Học sịnh chọn một trong hai phần :

  1. 1. Theo chương trình chuẩn :

a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = sin3x + cos2x + sinx + 2.

b) Tìm cực trị của hàm số : y = 3 – 2cosx – cos2x

2.Theo chương trình nâng cao :

a) Giải phương trình : x2001 + x = 2

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số :
y = x3 – 3x2 + 2.

HẾT.

About these ads

3 responses to this post.

  1. Posted by elena on 22/05/2012 at 19:46

    like bài cuối

    Trả lời

  2. Posted by langtruclam0109 on 07/06/2014 at 20:42

    thầy ơi, ở bài 1 : trang 7 sgknc ấy, câu a khi giải nghiệm ra 0 và -1 nhưng thầy xét bbt là 0 vs 1 nên bbt bị sai rồi thầy ơi :)

    Trả lời

Gửi THẢO LUẬN (Bài Tập - bài Giải - ý kiến ) : "Nói 9 - Làm 10"

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 139 other followers

%d bloggers like this: