BÀI 6 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đa thức

BÀI 6

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đa thức :

–o0o–

Các bước thực hiện :

  1. Tìm tập xác định hàm số.
  2. Xét sự biến thiên của hàm số.
  3. Tìm giới hạn tại vô cực.
  4. Lập bảng biến thiên :
  5. Vẽ đồ thị.
  6. Xác định các điểm đặc biệt (giao với các trục tọa độ).
  7. Tìm điểm uốn.
  8. Nhận xét.

Hàm bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d

Hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c

=======================================

CÂU HỎI và BÀI TẬP SGK :

BÀI 40 TRANG 43 NC :

a)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x3 + 3x2 – 4

b)      Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c)      Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng.

Giải.

a)Khảo sát sự biến thiên

TXĐ : R

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 3x2 + 6x

Cho y’ = 0 <=>  3x2 + 6x = 0 <=> x1 = 0 ; x2 = -2

  • Khi x1 = 0  => y1 = – 4
  • Khi x1 = -2  => y1 = 0

\lim_{x \to +\infty} y=+\infty; \lim_{x \to -\infty} y=-\infty

Lập bảng biến thiên :

x

-∞ -2 0 +∞

y’

       + 0         - 0         +

y

-∞      \nearrow 0   \searrow    -4    \nearrow +∞

Đạo hàm cấp 2 : y’’= 6x + 6

Cho y’’ = 0 <=>  6x + 6 = 0 <=> x = -1 => y = -2

Hàm số có điểm uốn : U(-1, -2)

Kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-2; 0)
  • hàm số đạt cực đại tại A ( -2; 0)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B (0; -4)

bảng giá trị :

x -2 -1 0 1
y 0 -2 -4 0

Vẽ đồ thị (C) :

b)Viết phương trình tiếp tuyến :

đồ thị (C) có điểm uốn : U(-1, -2)

hệ số góc : f’(xU) = 3.(-1)2 + 6(-1) = -3

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại U(-1, -2):

y = f’(xU)(x – xU) + yU

y = -3(x +1) – 2 =-3x  –  5

vậy : y = -3x  –  5

c)Chứng minh rằng điểm uốn U(-1, -2) là tâm đối xứng.

chuyển đồ thị (C) trên hệ trục Oxy về hệ trục UXY, ta có :

\begin{cases} x = X - 1\\ y=Y-2\end{cases} (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

(Y – 2) = (X – 1)3 + 3(X – 1)2 – 4

Y = X3 – 3X

Xét : f(-X) = (-X)3 – 3(-X) = -X3 + 3X = -( X3 – 3X) = -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ U làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân U làm tâm đối xứng.

—————————————————————————————————————-

BÀI 47 TRANG 45 NC :

Cho hàm số : y = x4 – (m + 1)x2 + m

a)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

b)      Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m.

Giải.

a)      y = x4 – 3x2 + 2

TXĐ : R

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 4x3 – 6x = x(4x2 – 6)

Cho y’ = 0 <=>  x(4x2 – 6)= 0 <=> x1 = 0 ; x2 = \frac{\sqrt{6}}{2} ; x3 = -\frac{\sqrt{6}}{2}

Khi x1 = 0  => y1 = 2

Khi x2 = \frac{\sqrt{6}}{2}   => y2 = -1/4

Khi x3 = -\frac{\sqrt{6}}{2}   => y3 = -1/4

\lim_{x \to +\infty} y=+\infty; \lim_{x \to -\infty} y=+\infty

Lập bảng xét dấu.

x -∞ \frac{\sqrt{6}}{2} 0 \frac{\sqrt{6}}{2} +∞
Y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ \searrow -1/4 \nearrow 2 \searrow -1/4 \nearrow +∞

Kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng (-\frac{\sqrt{6}}{2}; 0) và (\frac{\sqrt{6}}{2}; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-\frac{\sqrt{6}}{2}) v (0; \frac{\sqrt{6}}{2})
  • hàm số đạt cực đại tại A ( 0; 2)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B (-\frac{\sqrt{6}}{2}; -1/4) và C(\frac{\sqrt{6}}{2}; -1/4)

Vẽ đồ thị (C) :

b)      gọi M(x, y)là điểm cố định (C) đi qua, ta được :

y = x4 – (m + 1)x2 + m  đúng mọi m

⇔ (1 – x2)m = y – x4 + x2

Phương trình đúng mọi m khi :

\begin{cases} 1-x^2=0\\ y-x^4+x^2=0\end{cases} (*)

x = 1 => y = 0 => M1(1, 0)

x= -1 => y = 0=> M2(-1, 0)

vậy :  (C) đi qua điểm cố định M1(1, 0) và M2(-1, 0)

=============================================

DỀ THI- ĐÁP ÁN TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC :

2012 – đáp án :

NĂM 2010 :

ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 :

About these ads

4 responses to this post.

  1. Posted by danh on 02/10/2011 at 13:47

    chào thầy

    Trả lời

  2. khao sat su bien thien va ve do thi ham so: y=x3-3×2+2 txd: D=R y’=3×2-6x ?????

    Trả lời

  3. Thưa thầy, cho em hỏi hột câu.
    Từ một hàm số cho trước, ta có thể vẽ ra đồ thị hàm số. Vậy ngược lại, từ một đồ thị cho trước, ta lấy tập các giá trị biến thiên, từ tập giá trị biến thiên này, ta có thể xác định được các hệ số, bậc của hàm số hay không? Nói cách khác, là có cách nào để hồi qui, tìm các hệ số từ một đồ thị có dạng đường cong. Nếu có thể, xin thầy giảng rõ phương pháp để xác định các hệ số này.

    Trả lời

Gửi THẢO LUẬN (Bài Tập - bài Giải - ý kiến ) : "Một người vì mọi người, Mọi người vì một người"

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 127 other followers

%d bloggers like this: