BÀI 7 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số phân thức

BÀI 7

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số phân thức

–o0o–

Hàm nhất biến : y=\frac{ax+b}{cx+d}

bài 49 trang 49 nc :

Cho hàm số y=\frac{x-2}{2x+1}

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) chứng minh rằng giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị

Giải.

1)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

MXĐ : D = R \ {-\frac{1}{2} }

Đạo hàm : y’ = \frac{5}{(2x+1)^2} > 0

Giới hạn :

\lim_{x \to (-\frac{1}{2})^+} y=-\infty; \lim_{x \to (-\frac{1}{2})^-} y=+\infty

Tiện cận đứng : x = -\frac{1}{2}

\lim_{x \to +\infty} y=1/2; \lim_{x \to -\infty} y=1/2

Tiện cận ngang : y = 1/2

Bảng biến thiên :

x

-∞ -1/2 +∞

y’

       + 0         +

y

   1/2   \nearrow     -∞ ||  +∞ \nearrow 1/2

kết luận :

hàm số tăng trên D.

hàm số nhận I(-1/2, 1/2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Các điểm đặc biệt :

Giao trục hoành : y = 0 => x = 2 => A(2, 0)

Giao trục tung : x = 0 => y = -2 => B(0, -2)

Đồ thị :

b) I(-1/2, 1/2) tâm đối xứng của đồ thị :

chuyển hệ trục Oxy về hệ trục IXY, ta có :

\begin{cases} x = X - \frac{1}{2} \\ y=Y+\frac{1}{2}\end{cases} (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

Y+\frac{1}{2}=\frac{ X - \frac{1}{2}-2}{2(X - \frac{1}{2})+1}

Y=\frac{ -5}{4X}

Xét : f(-X) =\frac{ -5}{-4X}= -\frac{ -5}{4X} = -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân I làm tâm đối xứng.

HÀM SỐ HỮU TỈ : y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}

Cho hàm số y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

3) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận phương trình sau :

\frac{2x^2+5x+4}{x+2}+m=0

Giải.

1)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}=2x+1+\frac{2}{x+2}

MXĐ : D = R \ {-2 }

Đạo hàm : y’ = \frac{2x^2+6x+8}{(x+2)^2}

Cho y’ = 0 <=> 2x2 + 8x + 6 = 0 <=> x1 = -1 v x2 = -3

Khi x1 = -1 => y1 = 1

Khi x2 = -3 => y2 = -7

Giới hạn :

\lim_{x \to -\infty}y =-\infty; \lim_{x \to +\infty}y =+\infty

\lim_{x \to (-2)^+} y=+\infty; \lim_{x \to (-2)^+} y=-\infty

Tiện cận đứng : x = -2

\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x+2}=0

Tiện cận xiên : y = 2x + 1

Bảng biến thiên :

x -∞

-3

-2

-1

+∞
y’

+

0

-

||

-

0

+

y -∞

\nearrow

-7

\searrow

-∞

||

+∞\searrow

1

\nearrow

+∞

kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng(-∞; -3) và (-1; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-3; -1)\{-2}
  • hàm số đạt cực đại tại A ( -3; -7)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B(-1; 1)

Các điểm đặc biệt :

Giao trục tung : x = 0 => y = 2 => B(0, 2)

Đồ thị :

2) tâm đối xứng của đồ thị :

giao điểm tiện cận đứng và tiện cận xiên : x = -2 => y = 2.(-2) + 1 = -3 => I(-2; -3).

chuyển hệ trục Oxy về hệ trục IXY, ta có :

\begin{cases} x = X - 2 \\ y=Y-3\end{cases} (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

Y-3=\frac{2(X-2)^2+5(X-2)+4}{(X-2)+2}=

Y=\frac{ 2X^2+2}{X}

Xét : f(-X) =\frac{ 2(-X)^2+2}{-X} = -\frac{ 2X^2+2}{X}= -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân I làm tâm đối xứng.

3. biện luận nghiệm phương trình : \frac{2x^2+5x+4}{x+2}+m=0 (*)

<=> \frac{2x^2+5x+4}{x+2}=-m

Đặt :

y = \frac{2x^2+5x+4}{x+2} (C)

y = – m (d)

vị trí tương đối của (C) và (d) :

vị trí tương đối của (C) và (d) : Giá trị m Số nghiệm phương trình (*)
Cắt tại hai điểm phân biệt. -m > 1 <=> m < -1 Hai nghiệm phân biệt.
Tiếp xúc nhau tại một điểm - m = 1 <=> m = -1 Nghiệm kép.
Không cắt nhau. -7 < – m < 1 <=> -1 < m < 7 Vô nghiệm.
Tiếp xúc nhau tại một điểm - m = -7 <=> m = 7 Nghiệm kép.
Cắt tại hai điểm phân biệt. -7 < -m > 1 <=> m > 7 Hai nghiệm phân biệt.

Kết luận :

  • Khi m > 7 v m < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
  • Khi m = 7 v m = -1 thì phương trình có hai nghiệm kép.
  • Khi -1 < m < 7 thì phương trình vô nghiệm.

=================================================

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC :

NĂM 2011 :

ĐÁP ÁN :

ĐẠI HỌC KHỐI A 2011 :

ĐÁP ÁN :

2.m = -1

——————————————————————————-

ĐẠI HỌC KHỐI A 2008 :

2 .m = ±1.

———————————————————————————————————

Câu I ĐẠI HỌC KHỐI D 2011 : (2,0 điểm)

Cho hàm số y=\frac{2x+1}{x+1}

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A B đến trục hoành bằng nhau.

ĐÁP ÁN : k =-3.

Câu I ĐẠI HỌC KHỐI b 2010 : (2,0 điểm)

Cho hàm số y=\frac{2x+1}{x+1}

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng  \sqrt{3}  (O là gốc tọa độ).

 ĐÁP ÁN : m= ±2.


About these ads

11 responses to this post.

  1. Posted by hoaithuongnhomotnguoidung on 26/03/2012 at 21:43

    giải giúp em bài này với
    khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
    Y=x^3+9×-7
    em mới đọc qua đề này thấy hơi lạ nên tìm người tư vấn mong mọi người giúp em với

    Trả lời

  2. Posted by M.Hoa on 16/05/2012 at 08:16

    y=(x^2-4)/2.(1-x)
    tìm 2 điểm M,N thuộc 2 nhánh của(C) sao cho MN min
    em vẫn chưa biết cách giải bài này mong thầy chỉ giúp em
    nhanh nhanh nha thầy
    cảm ơn thầy

    Trả lời

  3. Posted by Băng on 06/09/2012 at 20:13

    Thầy ơi . Có thể giảng cho em bài tìm nhửng điểm trên (c) có tọa độ nguyên ???? Em k hiểu cái phần này cho lắm .TKS

    Trả lời

  4. Posted by mac duyhai on 08/10/2012 at 21:06

    cach ve do thi (ax+b)/(|cx+d|)

    Trả lời

  5. Posted by khoa on 15/10/2012 at 16:16

    sao kỳ vậy thầy em vẽ đồ thị khác rồi. em không hiểu ở chỗ giới hạn nên đường tiệm cận của em bị lộn, nên em vẽ đường. mỗi đường cắt một điểm

    Trả lời

  6. Posted by bùi đình hải on 06/04/2013 at 23:01

    phương trình phân thức có chứa dấu trị tuyệt đối thì sao hả thầy?
    |(2x+1)/(x+1)|
    mong câu trả lời sớm của thầy, em cảm ơn!

    Trả lời

    • f(x) = (2x+1)/(x+1) (C)
      y = |f(x) |
      nhánh f(x) > 0 : y = f(x) (phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox) (H1)
      nhánh f(x) < 0 : y = – f(x) : lấy đối xứng phần đồ thị (C) dưới trên trục Ox (H2)

      Trả lời

  7. Posted by pjhan ngoc quynh nhu on 02/07/2013 at 09:21

    bai kho hieu wa thay oi

    Trả lời

  8. Posted by Ngọc Thảo on 03/10/2013 at 19:25

    tiệm cận đứng:
    Tiện cận ngang:
    Dạng tổng quát đi thầy
    Em học lớp 12 mà chỗ này e ko hiễu?

    Trả lời

Gửi THẢO LUẬN (Bài Tập - bài Giải - ý kiến ) : "Nói 9 - Làm 10"

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 140 other followers

%d bloggers like this: