Bài 7 : TỨ GIÁC NỘI TIẾP.

Bài 7

TỨ GIÁC NỘI TIẾP.

–o0–

Định nghĩa :

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp.

Định lí :

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối bằng 180⁰.

Định lí đảo :

Trong một tứ giác tổng số đo hai góc đối bằng 180⁰ thì  tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

Dấu hiệu một tứ giác nội tiếp trong đường tròn :

1. Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 180⁰
2. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó.
3. Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm.
4. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

===============================================

BÀI TẬP SGK – SBT

BÀI 58 TRANG 90 :

Ta có :

(∆ABC đều)

(gt)

Ta có : (1)

Xét ∆DBC, ta có :

DB = DC (gt)

=> ∆DBC cân tại D.

=>

Ta có : (2)

Từ (1) và (2), ta được :

=> tứ giác ABDC nội tiếp (O) (tổng hai góc đối 180⁰)

Mà : (cmt)

=> AD là đường kính của (O).

=> tâm O là trung điểm AD.

——————————————————————————————-

BÀI 58 TRANG 90 :

Xét ∆ADP , ta có :

(tứ giác ABCP nội tiếp)

Mà : ( D, P, C thẳng hàng)

=>

Mặt khác : ( ABCD là hình bình hành)

=>

=> ∆ADP cân tại A.

=> AD = AP.

——————————————————————————————

BÀI 60 TRANG 90 :

(tứ giác ATSI nội tiếp (O3))

(tứ giác APBI nội tiếp (O2))

(tứ giác BQRI nội tiếp (O1))

=>

Mà : ở vị trí so le trong.

=> QR // ST

==============================

BÀI TẬP BỔ SUNG :

BÀI 1 :

Cho ∆ABC vuông tại A. M thuộc AC. Đường tròn (O) đường kính MC cắt BM tại D và cắt AD tại S. chứng minh rằng :

1. ABCD là tứ giác nội tiếp.
2. CA là tia phân giác của

GIẢI.

1. ABCD là tứ giác nội tiếp :

Ta có :

(góc nội tiếp chắn ½ (O))

=>

=> ABCD là tứ giác nội tiếp (I) (hai góc cùng nhìn BC dưới goc vuông)

1. CA là tia phân giác của

Ta có : (gnt cùng chắn cung AB của (I))

(MDSC là tứ giác nội tiếp (O))

=>

=> CA là tia phân giác của

—————————————————————————————————————–

BÀI 2 :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. H là trực tâm tam giác ABC. Kẻ đường hính OI vuông góc BC tại I. Chứng minh :

1. BHCD là hình bình hành.
2. I, H, D thẳng hàng.
3. AH = 2OI

 GIẢI

BHCD là hình bình hành :

(góc nội tiếp chắn ½ (O))

=> CD AC

Mà : BH AC (H là trực tâm)

=> CD // BH (cùng vuông góc AC)

Cmtt, ta được : BD // CH

Xét tứ giác BHCD , ta có :

BHCD là hình bình hành

CD // BH (cmt)

BD // CH (cmt)

tứ giác BHCD là hình bình hành.

b)I, H, D thẳng hàng.

đường kính OI BC tại I

=> IB = IC

Mà : hai đường chéo HD và BC của hình bình hành BHCD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

=> IH = ID

Hay I, H, D thẳng hàng.

3. AH = 2OI

Xét 𝛥 ABC có H là trực tâm

=> AH BC

Mà : OI BC

=> OI // AH

Xét 𝛥 AHD, ta có :

OA = OD (AD là  đường kính của (O))

OI // AH (cmt)

=> OI là đường trung bình trong 𝛥 AHD

=> AH = 2OI

=====================================

BÀI TẬP  RÈN LUYỆN :

Bài 1 :

Cho ∆ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) , hai đường cao BF và CE cắt nhau tại H

a/ Chứng minh 4 điểm B, E, F,C cùng nằm trên một đường tròn . Xác định tâm I của đường tròn đó

b/ Tia AH cắt (O) tại M và vẽ đường kính AD của đường tròn (O) . Chứng minh tứ giác BCDM là hình thang cân

c/ Chứng minh H, I, D thẳng hàng

d/ AD cắt EF tại K . Chứng minh  AD EF

Bài 2 : (3,5đ)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong (O,R).Gọi H là giao điểm của  hai đường cao BE và CF.

a)    Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF.

b)    Tia AH cắt BC tại D và cắt (O) tại M.Kẻ MN // BC (N (O)).Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang cân và AN là đường kính của (O).

c)    Chứng minh AN   EF và ba điểm H, I, N thẳng hàng.

d)    OH cắt AI tại G.Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.

Bài 3 : ( 3.5 đ )

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Đường tròn (O;R) đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại F và E ; BE cắt CF tại H .

a)    Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp . Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHE .

b)    Tia AH cắt BC tại D . Chứng minh :HE.HB = 2HI.HD

c)    Chứng minh : bốn  điểm D,E,I,F cùng nằm trên một đường tròn .

d)    Cho góc EAF = 60  và AC = BC . Tính chu vi tứ giác BFIE .

Bài 4 : ( 3.5 đ )

Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R). Vẽ 2 đường cao AD và BM cắt nhau tại H. Tia AD cắt (O) tại E và tia BM cắt (O) tại F.

a)     Chứng minh: tứ giác ABDM nội tiếp

b)    Chứng minh: MD // EF

c)     Chứng minh: CEF cân

d)    Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây AC và cung nhỏ AC biết   góc DMC = 60⁰