Bài 9 : Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 9

Tính chất ba đường cao của tam giác

–o0o–

Định nghĩa :

Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao.

Định lí :

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. điểm này gọi là trực tâm.

Tính chất :

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung , đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.

===============================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 59 TRANG 83 : Cho hình 57 :

  1. Chứng minh : NS \bot   ML
  2. Khi \widehat{LNP} =50^0 . tính  \widehat{MSP} ; \widehat{PSQ }

GIẢI.

A/ Chứng minh : NS \bot   ML

Xét ΔMNL, TA CÓ :

LP \bot   MN (gt) => LP là đường cao thứ nhất.

MQ \bot   LN (gt) => MQ là đường cao thứ hai.

LP cắt MQ tại S.

=> S là trực tâm của ΔMNL

=> NS là đường cao thứ ba.

=> NS \bot   ML

b/ tính  \widehat{MSP} ; \widehat{PSQ }

Xét tam giác MNQ, ta có :

\widehat{QMN} +\widehat{MQN} + \widehat{QNM} = 180^0

\widehat{QMN}+ 90^0 + 50^0 = 180^0

=> \widehat{QMN} = 40^0

Xét tam giác MSP, ta có :

\widehat{MSP} +\widehat{SPM} + \widehat{ SMP} = 180^0

\widehat{MSP}+ 90^0 + 40^0 = 180^0

=> \widehat{MSP} = 50^0

Mà : \widehat{MSP}+\widehat{PSQ}= 180^0

50^0 +\widehat{PSQ}= 180^0

=> \widehat{PSQ}= 130^0

———————————————————————————————————–

BÀI 78 TRANG 32 SBT :

Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao CH cắt tia phân giác góc A tại D. chứng minh BD vuông góc AC.

GIẢI.

XÉT tam giác ABC cân tại A, Có :

AE là tia phân giác (gt)

=> AE đường cao thứ nhất.

CH đường cao thứ hai (gt) .

AE cắt CH tại D.

=> D là trực tâm.

=> BD là đường cao thứ ba.

=> BD vuông góc AC.


BÀI tổng ôn :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD  = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE  = AC.

a)      Chứng minh : BC = DE.

b)      Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.

c)      Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.

d)     Chứng minh : AM = DE/2.

GIẢI.

 

a) Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :

\widehat{BAC}= \widehat{DAC}=90^0 (đối đỉnh)

AB = AD (gt)

AC = AD (gt)

=> Δ ABC = Δ AED (hai cạnh góc vuông)

=> BC = DE

Xét Δ ABD, ta có :

\widehat{BAC}=90^0 (Δ ABC vuông tại A)

=> AD \bot AE

=>  \widehat{BAD}=90^0

=> Δ ABD vuông tại A.

mà : AB = AD (gt)

=> Δ ABD vuông cân tại A.

=>\widehat{BDC}=45^0

cmtt : \widehat{BCE}=45^0

=> \widehat{BDC}=\widehat{BCE}=45^0

mà : \widehat{BDC},\widehat{BCE} ở vị trí so le trong

=> BD // CE

b) Xét Δ MNC, ta có :

NK \bot MC = > NK là đường cao thứ 1.

MH \bot NC = > MH là đường cao thứ 2.

NK cắt MH tại A.

=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.

=> MN \bot AC tại I.

mà : AB \bot AC

=> MN // AB.

c) Xét Δ AMC, ta có :

 \widehat{MAE}= \widehat{BAH} (đối đỉnh)

\widehat{MEA}= \widehat{BCA} (Δ ABC = Δ AED)

=>\widehat{MAE}=\widehat{MEA} (cùng phụ góc ABC)

=> Δ AMC cân tại M

=> AM = ME (1)

Xét Δ AMI và Δ DMI, ta có :

\widehat{AIM }= \widehat{DIM}=90^0 (MN \bot AC tại I)

IM cạnh chung.

mặt khác : \widehat{IMA }= \widehat{MAE} (so le trong)

\widehat{DMI }= \widehat{MEA} (đồng vị)

mà : \widehat{MAE}=\widehat{MEA} (cmt)

=> \widehat{IMA }= \widehat{IMD}

=> Δ AMI = Δ DMI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

=> MA = MD (2)

từ (1) và (2), suy ta : MA = ME = MD

ta lại có : ME = MD = DE/2 (D, M, E thẳng hàng)

=>MA = DE/2.

 

===============================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :

Cho ΔABC đều có cạnh 10cm. Từ A dựng tia Ay vuông góc với AB cắt BC tại M.

a/ Chứng minh: ΔACM cân.

b/ Kẻ AH \bot BC ( H\in BC), lấy điểm I \in AH. Biết AB < AM, chứng minh: IB < IM

c/ Kẻ CN \bot AM (N \in AM), nối HN. Chứng minh: ΔAHN đều

d/ Tính độ dài đoạn thẳng HN.

BÀI 2 :

Cho Δ ABC vuơng tại A và góc C = 300.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA .
a/ Chứng minh : ΔABD đều , tính góc DAC .
b/ Vẽ DE\bot AC (E\in AC). Chứng minh :  ΔADE  =  ΔCDE .
c/ Cho AB = 5cm , .Tính BC và AC.
d/ Vẽ AH\bot BC (H\in BC).  Chứng minh :AH + BC  > AB +AC

BÀI 3 :

Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH.về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ABD cân tại B, ACE cân tại C. từ C vẽ đường thẳng vuông góc BE cắt đường thẳng AH tại F. chứng minh :

  1. AF = BC.
  2. ΔABF = ΔBDC.
  3. AH, BE, CD đồng quy.

BÀI 4 :

Cho tam giác AHC vuông tại H.gọi M, N là trung điểm AH, HC.trên tia đối tia NM lấy điểm D sao cho ND = NM. Chứng minh :

  1. Tam giác NCD vuông tại D.
  2. AMC = DCM.
  3. từ A vẽ đường thẳng vuông góc AC cắt đường thẳng CH tại B. chứng minh BM vuông góc AN.

======================

BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. vẽ đường cao AH, lấy điểm D sao cho AB là đường trung trực của của HD, lấy điểm E sao cho AC là đường trung trực của của HE. Chứng minh rằng :

  1. D, E, A thẳng hàng.
  2. Tam giác DHE vuông.
  3. Gọi M là trung điểm của BC. chứng minh MA là đường trung trực của của DE.

BÀI 2 :

=============================================

ĐỀ THI :

Đề thi kiểm tra môn toán lớp 7 học kỳ II năm 2008 – 2009 Quận 5 tp.HCM

Môn toán lớp 7 (90 phút)

Bài 1 (1,5 đ) :

a) Tính giá trị của biểu thức tại x = 1; y = -1

3/4 xy5 +1/2 xy5 – 1/4 xy5

b) Tính tích của các đơn thức sau rồi tính bậc của đơn thức thu được :

-2x3y4 và 1/2 x2y

Bài 2 (2 đ) :Cho hai đa thức :

P(x) = x5 + 3x2 – 2x4 – x2

Q(x) = -3x4 + x5 – x2 + x + 3x2

a) Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính P(x) + Q(x); P(x) – Q(x).

Bài 3 (1 đ) :

Cho hai đa thức M(x) = x2 – 5x + 6. Chứng tỏ x = 2; x = 3 là hai nghiệm của đa thức đó.

Bài 4 (2 đ) :kết quả điều tra số con của 30 gia đình ở một tổ dân phố được ghi nhu sau :

1 2 1 0 2 1 2 3 1 3
0 2 4 1 2 2 1 3 2 3
2 3 2 4 3 3 2 2 1 2

Hãy lập bảng tần số và tính số trung bình cộng.

Bài 5 (3 đ) :

Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến.

a) Chứng minh : ΔAMB = ΔAMC. Suy ra góc AMB = 900.

b) Cho AB = 15cm, BC = 18cm. tính AM.

c) Gọi I là điểm nằm trong tam giác ABC và cách đều ba cạnh của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.

Hết.

About these ads

23 responses to this post.

  1. Posted by Nguyễn Cát Tường on 29/04/2012 at 15:02

    thầy ơi, thầy xem bài này nè thầy: cho góc nhọn x0y, H nằm trên tia phân giác của góc x0y, từ H dựng các đường vuông góc tới 2 cạnh 0x, 0y, A thuộc 0x, B thuộc 0y.
    a. C/m T.G HAB cân
    b. Gọi D là hình chiếu của A trên 0y, C là giao điểm của AD và OH. C/m BC vuông góc 0x
    c. Khi góc x0y = 60 độ, C/m OA=2OD
    Em chứng minh câu c zầy được ko thầy, hơi dài dòng tý: Ta có x0y= 60 độ
    => góc 01= 02 = x0y/2 = 30 độ
    xét t.g OCE có:
    góc 01+góc OEC+góc OCE= 180 độ(..)
    => OCE=60 độ
    Xét t.g OCD có:
    góc 02+góc ODC+góc OCD=180 độ
    => góc ODC= 60 độ
    => góc ODC=góc ACH= 60 độ (đđ)
    Xét t.g OAH có:
    góc O1+ góc A+ góc H= 180 độ
    => góc H = 60 độ
    Xét t.g CAH có:
    góc ACH+ góc H+ góc CAH=180 độ
    => góc CAH=60 độ
    Ta có Â= góc CAH+ góc CAO= 90 độ
    mà góc CAH = 60 độ (cmt)
    => góc CAO= Â – góc CAH=90 độ – 60 độ
    => góc CAO= 30 độ
    Xét t.g EAC có:
    góc CEA+ góc EAC+ góc ECA=180 độ
    => góc ECA = 60 độ
    Xét t.g OAC có:
    góc C= góc OCE+góc ECA= 120 độ
    Cạnh đối diện vs góc C là cạnh OA
    t.g OCD có:
    góc OCD= 60 độ
    Cạnh đối diện vs góc OCD là cạnh OD
    mà góc C = 2.góc OCD
    => OA=2.OD (theo nhận xét về quan hệ giữa cạnh đối diện vs góc lớn hơn)

    Trả lời

    • Posted by Nguyễn Cát Tường on 29/04/2012 at 15:04

      Ec. Nhầm. Xét t/g OCD => góc OCD = 60 độ

      Trả lời

    • Em áp dụng không chính xác :
      t.g OCD có:
      góc OCD= 60 độ
      Cạnh đối diện vs góc OCD là cạnh OD
      mà góc C = 2.góc OCD
      => OA=2.O
      D (theo nhận xét về quan hệ giữa cạnh đối diện vs góc lớn hơn)

      ta có định lý :so sánh
      Định lí 1 :

      Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

      Định lí 2 :

      Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

      Trả lời

      • Posted by Nguyễn Cát Tường on 30/04/2012 at 15:49

        Zậy phải áp dụng như thế nào mới chính xác thầy?

        Trả lời

        • không có so sánh “=”
          Bài giải (dùng kết quả câu a,b )

          Xét ΔOAB, ta có :
          OA = OB (cmt)
          => ΔOAB cân tại O.
          góc xOy = 60 độ
          => ΔOAB đều .
          AD vuông góc OB => AD là đường cao
          => AD cũng là đường trung tuyến trong ΔOAB đều.
          => D là trung điểm OB
          =>OB = 2 OD
          mà : OA = OB (cmt)
          => OA = 2OD

          =>

          Trả lời

          • Posted by Nguyễn Hiễn on 01/05/2012 at 20:05

            Thưa thầy theo những câu trên ta đã có OA=OB rồi
            vậy áp dụng mà làm thôi ạ.

          • Posted by Vo Ha Duy on 16/04/2014 at 18:52

            Thầy ơi em không hiểu bài này ở chỗ Chứng minh Tam giác OAE đều. Vì OA = OB làm sao Tg OAE đều được ạ.

          • Em xem bài giải hoàn chỉnh phía trên , nhé.

  2. Cách của em là một cách làm nữa.
    + Em dùng kết quả câu a, b.
    + cách trình bày phía trên như một câu độc lập.

    Trả lời

  3. Posted by duy on 03/05/2012 at 19:00

    o ban thi thay lam o tren ay
    duong tung tuyen la gi em wen mat rui ^-^

    Trả lời

    • Posted by duy on 03/05/2012 at 19:13

      voi cau c cua Đề thi kiểm tra môn toán lớp 7 học kỳ II năm 2008 – 2009 bai 5 lam sao ha thay

      Trả lời

  4. Posted by manh on 25/04/2013 at 20:57

    rat hay thanks nhieu

    Trả lời

  5. Posted by bich on 03/05/2013 at 20:47

    em ko hieu de cua cau a

    Trả lời

  6. Posted by ca sau on 10/05/2013 at 15:41

    thay oi bai 58 sgk-83 lam ntn a

    Trả lời

  7. phải làm sao thì mới chứng minh được

    Trả lời

  8. thầy có thể giảng cho con bài 62/SGK(trang 83) được không ạ

    Trả lời

  9. Posted by banba on 23/08/2013 at 15:52

    cho tam giác ABC vuông tại A, AB=6cm, Ac=8cm.Từ trung điểm M của cạnh BC vẽ đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt AC, AB theo thứ tự tại E,F.Tính diện tích tam giác MEC

    Trả lời

  10. Posted by nhat on 13/10/2013 at 19:30

    thầy ơi có thể giải giúp em bài tập này không ạ?
    Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=2AB trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD=BA trên D và c lần lượt vẽ các đường thẳng song song với AC cắt nhau tại E
    a. C/M ACED hình vuông
    b. Gọi F là trung điểm của ED chứng minh: tam giác ABC= DFA
    c.gọi m là giao điểm của AF và BC cm: BC vuông góc AF
    d.chứng minh EM=AC

    Trả lời

  11. Posted by Đào Thị Phương on 09/04/2014 at 23:38

    thầy ơi giúp em giải bài này được không ạ?
    cho tam giác nhọn ABC 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
    gọi N là giao điểm của CF và DE
    chứng minh : HF.CN=HN.CF

    Trả lời

  12. Posted by nhi on 26/04/2014 at 14:30

    thầy giúp con bài này với: cho tam giac ABC, AD,BE, CF là đường cao, H là trực tâm. chứng minh: H cách đều 3 cạnh tam giác EDF

    Trả lời

  13. Posted by vũ minh đức on 26/04/2014 at 16:12

    thầy ơi giảng cho em bài này với ạ
    cho tam giác ABC cân tại A,vẽ AH vuông góc với BC tại H,biết rằng AB=10cm,BH=6cm
    Chứng minh:
    a)AH=?cm
    b) tam giác ABC=tam giác ACH
    c)trên cạnh BA lấy điểm D,trên cạnh CA lấy điểm E sao cho BD=CE
    chứng minh:tam giác HDE can
    đ)AH là trung trực [DE]

    Trả lời

  14. Posted by Mai on 16/08/2014 at 15:35

    thầy ơi !! cho em hỏi muốn chứng minh trực tâm trong tam giác Tù thì phải làm sao ?
    Xin thầy cho em 1 ví dụ

    Trả lời

Gửi THẢO LUẬN (Bài Tập - bài Giải - ý kiến ) : "Nói 9 - Làm 10"

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 156 other followers

%d bloggers like this: