Hình học nâng cao lớp 8 dành cho học sinh giỏi

–o0o–

Bài 1 :

Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

Chứng minh rằng : BH.BD + CH.CE = BC².

Bài 2 :

ôn tập hình học lớp 8 học kỳ II

 

Bài 1 :

Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60⁰. Qua C kẻ đường thẳng d không cắt hình thoi nhưng cắt đường thẳng AB tại E và đường thẳng AD tại F.

a/Chứng minh : tam giác BEC đồng dạng tam giác AEF

b/Chứng minh : tam giác DCF đồng dạng tam giác AEF

c/Chứng minh : BE.DF = DB².

d/ Chứng minh : tam giác BDE đồng dạng tam giác DBF

Bài 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), trung tuyến AM. Từ M, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AB tại E và AC tại F. Chứng minh:

a) BF vuông góc với EC (1đ)

b) ∆MBE và ∆MCF đồng dạng.

Từ đó, suy ra MB² = ME.MF (1.75đ)

c) Biết BE =18, BC = 24. Tính S_ABM/S_CBE   

BÀI 3

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH .

            a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng tam giác ABC

            b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AB . Đường vuông góc BC kẻ từ B cắt MN tại I . Chứng minh

            c) IC cắt AH tại O . Chứng minh O là trung điểm AH

            d) Gọi K là giao điểm của CA và BI  . Tính độ dài BK ,biết AB = 15 cm , AC = 20 cm .

 

Bài 4 :

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 9cm, AC = 12cm.

a/ Tính BC và AH

b/ Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại E và AC tại F.

Chứng minh : tam giác ABF đồng dạng với tam giác HBE

c/ Chứng minh tam giác AEF cân

d/  Chứng minh AB . FC = CB . AF

Bài 5 :  

Cho ΔABC vuông tại A, có đường cao AE và đường phân giác BF.

a)    ΔABC và ΔEAB có đồng dạng không ? Tại sao? (1 điểm)

b)    Tính BC và AE, cho biết:  AB=6cm; AC=8cm.        (1 điểm)

c)    Chứng minh rằng: AB²= BE . BC.                          (1 điểm)

d)    Tính độ dài BF (làm tròn đến phần trăm).               (1 điểm)

 

Bài 6:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ hai đường cao BD và CE.

a) Chứng minh:  ΔABD đồng dạng ΔACE . Suy ra : AB.AE = CA. AD

b) Chứng minh:  Δ ADE đồng dạng Δ ABC .

c) Tia DE và CB cắt nhau tại I. Chứng minh:  Δ IBE đồng dạng Δ IDC  .

d) Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh: ID.IE = OI² – OC².

Bài 7: 

Cho ΔABD vuông tại A  có    AB = 15cm ; BC = 25cm , AH là đường cao (H thuộc BC), BM là phân giác của góc ABC (M thuộc AC).

a) Tính độ dài AC, AH.

b) Chứng minh: AB² = BH.BC

c) Gọi N là giao điểm của BM vaø AH. Chứng minh:

d) Tính diện tích tam giác ABN

 

Bài 8: 

Cho hình vuông ABCD có M thuộc AB. Gọi N là giao điểm của DM và BC. Qua D kẻ Dx vuông góc với DN và Dx cắt BC tại K.

a) Chứng tỏ rằng AM.BN = AD.MB

b) Chứng minh tam giác DMK vuông cân.

c) Chứng minh    không đổi.

Bài 9

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ hai đường cao BD và CE.

1. Chứng minh: ΔABD đồng dạng ΔACE.
2. Chứng minh: ΔADE đồng dạng ΔABC.
3. Tia DE và CB cắt nhau tại I. Chứng minh: ΔIBE đồng dạng ΔIDC .
4. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh: ID.IE = OI² – OC².

 

Bài 8 :Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

Bài 8

 Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuông

–o0o–

1.  Định lí 1 :
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
2.    Định lí 2 :
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
3.    Định lí 3 :
Nếu góc nhọn của tam giác này bằng góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
==================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI tâp bổ sung :

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH . chứng minh các hệ thức :

1. AB² = BH.BC và AC² = CH.BC
2. AB² +AC² = BC²
3. AH² = BH.CH
4. AH.BC = AB.AC

Giải.

 

1. AC² = CH.BC :

Xét hai ∆ABC và ∆ HAC, ta có :

là góc chung.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=>

=> AC² = CH.BC (1)

Cmtt : AB² = BH.BC (2)

2. AB² +AC² =   BC²

Từ (1) và (2), ta có :

AB² +AC² = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC =  BC²

3.AH² = BH.CH :

Xét hai ∆HBA và ∆ HAC, ta có :

 cùng phụ

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

=>

=> AH² = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta có : (∆ABC ~ ∆HAC)

=> AH.BC = AB.AC.

===============================

ĐỀ THI ĐỊNH HƯỚNG :

Đề thi kiểm tra môn toán lớp 8 học kỳ II
Môn toán lớp 8 (90 phút)

Bài 1 (5 đ):Giải các phương trình và bất phương trình sau :

a) 5(x – 1) – 3x + 3 = 0
b) (x + 2)(x – 1 ) = 5(x + 2)
c)
d) |x + 3| = 5x – 7
e)

Bài 2 (1,5 đ):giải toán bằng cách lập phương trình :

Một bồn hoa hình chữ nhật có chu vi là 26m, biết chiều dài hơn chiều rộng là 4m. tích diện tích khu vườn?

Bài 3(1 đ) :

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm.tia phân giác góc BAC cắt BC tại E. tính EB và EC.

Bài 4 (2 đ) : Hai đường cao AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Chứng minh rằng :

a) Tam giác ADC và tam giác BEC là hai tam giác đồng dạng.
b) HA.HD = HB.HE.

HẾT.

bài 7 : trường hợp Hai tam giác đồng dạng thứ ba g – g

BÀI 7

trường hợp Hai tam giác đồng dạng thứ ba g – g

–o0o–

Định lí 2 : g – g

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

bài 6 : trường hợp Hai tam giác đồng dạng thứ hai c – g – c

BÀI 6

 trường hợp Hai tam giác đồng dạng thứ hai c – g – c

–o0o–

    Định lí 2 : c – g – c
Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ vối hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằnng nhau  thì hai tam giác đồng dạng.

Hai tam giác đồng dạng – trường hợp thứ nhất c – c – c

BÀI 4+5

Hai tam giác đồng dạng – trường hợp thứ nhất c – c – c

–o0o–

I.    Hai tam giác đồng dạng :
I.1.    Định nghĩa :
Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu :

; ;

Bài 3 : Định lí đường phân giác trong tam giác

 Bài 3

Định lí đường phân giác trong tam giác

–o0o–

Định lí đường phân giác :

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề đoạn thẳng ấy.

Chú ý : định lí vẫn dúng với tia phân giác của góc ngoài của tam giác.

Bài 2 : Định lí Talet đảo – các hệ quả.

Bài 2

Định lí Talet đảo – các hệ quả.

–o0o–

I.1.    Định lí Talet đảo :
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Hệ quả :
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại của tam giác thì nó tạo ra tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đã cho.

=====================

Ví dụ : Cho tam giác ABC có AB = 28cm, AC = 20cm. trên AB lấy điểm M sao cho AM = 7cm, trên AC lấy điểm N sao cho AN = 5cm. Chứng minh MN // BC.

GIẢI.

———————————————

bài 11 trang 63 :

Cho tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy điểm I, K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ EF và MN song song BC.
a.    Tính MN và EF.
b.    Tính diện tích tứ giác MNFE, biết  diện tích tam giác ABC là 270cm2.

 =================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :

Cho tứ giác ABCD có . Từ điểm M trên BD kẻ ME vuông góc AD ở E, MF vuông góc CD ở F. chứng minh : EF // AC.

BÀI 2 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường trung tuyến BM, trọng tâm G. lấy F trên cạnh BC sao cho FB = 2FC. chứng minh :

1. GF // AC.
2. AF vuông góc BM.

=================================

BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :

BÀI 1 :

Cho hình bình hành ABCD, trên đường chéo AC lấy một  điểm I. tia DI cắt đường thẳng AB tại M. cắt BC tại N. chứng minh :

a)     

b)      ID² = IM.IN

BÀI 2 :

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, trọng tâm G. một đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F. chứng minh :

a)     

b)     

BÀI 3 :

Cho hình vuông ABCD. M, N lần lượt trung  điểm các cạnh AB, AD và P là giao điểm của BN, CM. chứng minh :

a)      BN vuông góc CM.

b)      DP = DC.

Bài 1 : Định lí Talet (thales) trong tam giác

Bài 1

Định lí Talet (thales) trong tam giác

–o0o–

I.    Các khái niệm :
I.1.    Tỉ số của hai đoạn thẳng :
I.1.a.    Định nghĩa :
Cho đoạn thẳng AB = a, CD = b. Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị.
Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD :  (a,b cùng một đơn vị).

ÔN TẬP TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8 HKI

BÀI 1 : Cho  tam giác ABC cân tại A.Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC.

Vẽ điểm M là điểm đối xứng của điểm B qua điểm F và điểm N là điểm đối xứng của điểm E qua điểm D.1) Chứng minh:

Bài 12 : HÌNH VUÔNG

Bài 12

HÌNH VUÔNG

–o0o–

1. Định nghĩa :

hình vuông là có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

2. Tính chất :

Có tất cả tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Bài 11 : HÌNH THOI

Bài 11

HÌNH THOI

–o0o–

1. Định nghĩa :

hình thoi là Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

2. Tính chất :

Bài 9 : HÌNH CHỮ NHẬT

Bài 9

HÌNH CHỮ NHẬT

–o0o–

1. Định nghĩa :

hình chữ nhật là tứ giác có ba góc vuông.

2. Tính chất :

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Bài 7 : HÌNH BÌNH HÀNH

Bài 7

HÌNH BÌNH HÀNH

 –o0o–

1. Định nghĩa :

hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.

2. Định lí :

Trong hình bình hành :

Bài 4 : Đường trung bình của tam giác , của hình thang

bài 4

Đường trung bình của tam giác , của hình thang

 –o0o–

1. Đường trung bình của tam giác :

Định nghĩa :

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai  cạnh của tam giác.

Định lí 1:

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Bài 3 : HÌNH THANG CÂN

Bài 3

HÌNH THANG CÂN

–o0o–

1. Định nghĩa :

Hình thang cân là Hình thang có hai góc kề một cạnh đấy bằng nhau.

Tứ giác  ABCD Hình thang cân ta có :

• AB // DC
• góc D = góc C hoặc góc A = góc B

2. Tính chất :

Bài 2 : HÌNH THANG

Bài 2

Hình thang

–o0o–

1. Định nghĩa :

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

AB : cạnh đáy nhỏ.

DC : cạnh đáy lớn.

AD, BC : cạnh bên.

AH : đường cao.

Bài 1 : TỨ GIÁC

Bài 1

Tứ giác

–o0o–

1. Định nghĩa :

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, AD. Trong đó bất kỳ hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Tứ giác lồi là một tứ giác luôn nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ một cạnh nào của tứ giác.

2. Định lí :

Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Tổng quát :

tg ABCD có :   = 360⁰

BÀI TẬP SGK :

BÀI 1 : TÌM X 

H5a :

Xét tg ABCD ta có :

110⁰ + 120⁰ + 80⁰ +x  = 360⁰

= > x = 360⁰- (110⁰ + 120⁰ + 80⁰) = 50⁰

H6a :

Xét tgPQRS

x + x +65⁰ + 95⁰ = 360⁰

= > 2x = 360⁰- (65⁰ + 95⁰) = 200⁰

Hay x = 100⁰

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

Bài 1 :

cho tứ giác ABCD, biết AB  = AD; góc B = 90⁰, góc A = 60⁰, góc D = 135⁰,

a)      Tính góc C.

b)      Từ A ta kẻ AE vuông góc với đường thẳng CD. Tính các góc của tam giác AEC.

Bài 2 :

cho tứ giác lồi ABCD, biết có góc A =  góc D = 90⁰ góc B và C khác nhau.

a)      chứng minh : AB // DC.

b)      Chứng  tỏ trong hai góc B và C phải có một góc nhọn.

c)       Khi góc C nhọn. chứng minh AB < DC.