Posts Tagged ‘khảo sát hàm số’

Chuyên đề : khảo sát hàm số

Chuyên đề : khảo sát hàm số

(Trích đề thi – đáp án môn toán : tốt nhiệp phổ thông và đại học)

–o0o–

Đề thi – đáp án tốt nhiệp phổ thông năm 2011 :

Trích đề thi – đáp án môn toán : tốt nhiệp phổ thông và đại học các năm :

Xem chi tiết Chuyên đề : khảo sát hàm số link download.

BÀI 3 : HÀM SỐ BẬC hai y = ax^2 + bx + c

BÀI 3

HÀM SỐ BẬC hai y = ax2 + bx + c

–o0o–

Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):

TXĐ : D = R.

Tọa độ đỉnh I (-b/2a; f(-b/2a)). f(-b/2a) = -Δ/4a

Trục đối xứng : x = -b/2a Đọc tiếp

BÀI 2 : HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b

BÀI 2

HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b

–o0o–

Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0):

TXĐ : D = R.

Tính biến thiên :

  • a > 0 hàm số đồng biến trên R.
  • a < 0 hàm số nghịch biến trên R. Đọc tiếp

BÀI 1 : HÀM SỐ

BÀI 1

HÀM SỐ

1.Định nghĩa :

Giả sử có hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập số D.

Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập số D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số. Đọc tiếp

BÀI 8 : MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

BÀI 8

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

–o0o–

Vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số :

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (c) và y = g(x) có đồ thị (S)

Tọa độ giao điểm của (C) và (S) là nghiệm của hệ :

\begin{cases} y=f(x) \\ y=g(x)\end{cases} (a)

Phương trình hoành độ giao điểm của (c) và (s) :

f(x) = g(x) (*)

  • Phương trình (*) có nghiệm đơn <=> (c) và (s) cắt nhau tại điểm đó.
  • Phương trình (*) có nghiệm kép <=> (c) và (s) tiếp xúc nhau tại điểm đó.
  • Phương trình (*) vô nghiệm <=> (c) và (s) không cắt nhau tại điểm đó.

sự tiếp xúc hai đường cong :

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (c) và y = g(x) có đồ thị (S)

Hoành độ tiếp điểm  của (C) và (S) là nghiệm của phương trình :

\begin{cases} f(x)=g(x) \\f'(x)=g'(x)\end{cases} (b)

Phương trình tiếp tuyến tại một điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị :

y = f’(x0)(x – x0) + y0

======================

BÀI TẬP BỔ SUNG :

Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số y=\frac{2x+1}{2x-1}

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2 (d)

Giải.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

MXĐ : D = R \ {\frac{1}{2} }

Đạo hàm : y’ = \frac{-4}{(2x-1)^2} < 0

Giới hạn :

\lim_{x \to (\frac{1}{2})^+} y=+\infty; \lim_{x \to (\frac{1}{2})^-} y=-\infty

Tiện cận đứng : x = {\frac{1}{2}

\lim_{x \to +\infty} y=1; \lim_{x \to -\infty} y=1

Tiện cận ngang : y = 1

Bảng biến thiên :

x

-∞ 1/2 +∞

y’

- 0 -

y

1 \searrow -∞ || +∞ \searrow 1

kết luận : hàm số giảm trên D.

Đồ thị :

2) Phương trình hoành độ giao điểm của (c) và (d) :

y=\frac{2x+1}{2x-1}=x+2

<=> 2x2 + x – 3 = 0

<=> x1 = 1 v x2 = -3/2

Khi x1 = 1 => y1 = 3 => A(1; 3)

Khi x2 = -3/2 => y2 = 1/2 => B(-3/2; 1/2)

Vậy (c) cắt (d) tại A(1; 3) và B(-3/2; 1/2)

Bài 2 :

Câu 1 TNPT 2011 (3,0 điểm). Cho hàm số y=\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+5

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.

Giải.

TXĐ : R

Đạo hàm : y’ = 3x2/4 – 3x

Cho y’ = 0 <=> 3x2/4 – 3x = 0 <=> x1 = 0 ; x2 = 4

Khi x1 = 0 => y1 = 5

Khi x2 = 4=> y2 = -3

Giới hạn :\lim_{x \to +\infty} y=+\infty; \lim_{x \to -\infty} y=-\infty

Lập bảng xét dấu.

x

-∞ 0 4 +∞

y’

+ 0 - 0 +

y

-∞ \nearrow 5 \searrow -3 \nearrow +∞

Kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 0) và (4; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (0; 4)
  • hàm số đạt cực đại tại A ( 0; 5)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B (4; -3)

bảng giá trị :

x -2 0 4 6
y -3 5 -3 5

Vẽ đồ thị C :

2) x3 – 6x2 + m = 0

<=> \frac{1}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+5=5-\frac{m}{4}

Đặt :

y=\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+5 có đồ thị (C)

y=5-\frac{m}{4} có đồ thị (d)

Dựa vào đồ thị (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt khi :

-3<5-\frac{m}{4}<5

<=> 0 < m < 32

Vậy : 0 < m < 32 thì đồ thị (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt hay phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Phương pháp giải phương trình tìm tham số biết đồ thị (C) y = f(x) :

f(x, m) = 0

ta chuyển về dạng : f(x) = g(m)

đặt : y = f(x) có đồ thị (c) và y = g(m) có đồ thị (d): hàm hằng.

số giao điểm của (c) và (d) là số nghiệm của phương trình. Dựa vào đồ thị ta tìm được giá trị của g(m). suy ra giá trị của m.

=====================================

TNPT – ĐÁP ÁN  2012 (3,0 điểm).

Câu 1 TNPT 2009 (3,0 điểm).

Cho hàm y=\frac{2x+1}{x-2}

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5.

ĐÁP ÁN :

Câu I CAO ĐẲNG 2011 (2,0 điểm)

Cho hàm số y = \frac{1}{3}x3 +2x2 – 3x +1 $

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

 ĐÁP ÁN :

ĐẠI HỌC KHỐI A 2010 :

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 7 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số phân thức

BÀI 7

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số phân thức

–o0o–

Hàm nhất biến : y=\frac{ax+b}{cx+d}

bài 49 trang 49 nc :

Cho hàm số y=\frac{x-2}{2x+1}

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) chứng minh rằng giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị

Giải.

1)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

MXĐ : D = R \ {-\frac{1}{2} }

Đạo hàm : y’ = \frac{5}{(2x+1)^2} > 0

Giới hạn :

\lim_{x \to (-\frac{1}{2})^+} y=-\infty; \lim_{x \to (-\frac{1}{2})^-} y=+\infty

Tiện cận đứng : x = -\frac{1}{2}

\lim_{x \to +\infty} y=1/2; \lim_{x \to -\infty} y=1/2

Tiện cận ngang : y = 1/2

Bảng biến thiên :

x

-∞ -1/2 +∞

y’

       + 0         +

y

   1/2   \nearrow     -∞ ||  +∞ \nearrow 1/2

kết luận :

hàm số tăng trên D.

hàm số nhận I(-1/2, 1/2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Các điểm đặc biệt :

Giao trục hoành : y = 0 => x = 2 => A(2, 0)

Giao trục tung : x = 0 => y = -2 => B(0, -2)

Đồ thị :

b) I(-1/2, 1/2) tâm đối xứng của đồ thị :

chuyển hệ trục Oxy về hệ trục IXY, ta có :

\begin{cases} x = X - \frac{1}{2} \\ y=Y+\frac{1}{2}\end{cases} (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

Y+\frac{1}{2}=\frac{ X - \frac{1}{2}-2}{2(X - \frac{1}{2})+1}

Y=\frac{ -5}{4X}

Xét : f(-X) =\frac{ -5}{-4X}= -\frac{ -5}{4X} = -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân I làm tâm đối xứng.

HÀM SỐ HỮU TỈ : y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}

Cho hàm số y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

3) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận phương trình sau :

\frac{2x^2+5x+4}{x+2}+m=0

Giải.

1)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}=2x+1+\frac{2}{x+2}

MXĐ : D = R \ {-2 }

Đạo hàm : y’ = \frac{2x^2+6x+8}{(x+2)^2}

Cho y’ = 0 <=> 2x2 + 8x + 6 = 0 <=> x1 = -1 v x2 = -3

Khi x1 = -1 => y1 = 1

Khi x2 = -3 => y2 = -7

Giới hạn :

\lim_{x \to -\infty}y =-\infty; \lim_{x \to +\infty}y =+\infty

\lim_{x \to (-2)^+} y=+\infty; \lim_{x \to (-2)^+} y=-\infty

Tiện cận đứng : x = -2

\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x+2}=0

Tiện cận xiên : y = 2x + 1

Bảng biến thiên :

x -∞

-3

-2

-1

+∞
y’

+

0

-

||

-

0

+

y -∞

\nearrow

-7

\searrow

-∞

||

+∞\searrow

1

\nearrow

+∞

kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng(-∞; -3) và (-1; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-3; -1)\{-2}
  • hàm số đạt cực đại tại A ( -3; -7)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B(-1; 1)

Các điểm đặc biệt :

Giao trục tung : x = 0 => y = 2 => B(0, 2)

Đồ thị :

2) tâm đối xứng của đồ thị :

giao điểm tiện cận đứng và tiện cận xiên : x = -2 => y = 2.(-2) + 1 = -3 => I(-2; -3).

chuyển hệ trục Oxy về hệ trục IXY, ta có :

\begin{cases} x = X - 2 \\ y=Y-3\end{cases} (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

Y-3=\frac{2(X-2)^2+5(X-2)+4}{(X-2)+2}=

Y=\frac{ 2X^2+2}{X}

Xét : f(-X) =\frac{ 2(-X)^2+2}{-X} = -\frac{ 2X^2+2}{X}= -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân I làm tâm đối xứng.

3. biện luận nghiệm phương trình : \frac{2x^2+5x+4}{x+2}+m=0 (*)

<=> \frac{2x^2+5x+4}{x+2}=-m

Đặt :

y = \frac{2x^2+5x+4}{x+2} (C)

y = – m (d)

vị trí tương đối của (C) và (d) :

vị trí tương đối của (C) và (d) : Giá trị m Số nghiệm phương trình (*)
Cắt tại hai điểm phân biệt. -m > 1 <=> m < -1 Hai nghiệm phân biệt.
Tiếp xúc nhau tại một điểm - m = 1 <=> m = -1 Nghiệm kép.
Không cắt nhau. -7 < – m < 1 <=> -1 < m < 7 Vô nghiệm.
Tiếp xúc nhau tại một điểm - m = -7 <=> m = 7 Nghiệm kép.
Cắt tại hai điểm phân biệt. -7 < -m > 1 <=> m > 7 Hai nghiệm phân biệt.

Kết luận :

  • Khi m > 7 v m < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
  • Khi m = 7 v m = -1 thì phương trình có hai nghiệm kép.
  • Khi -1 < m < 7 thì phương trình vô nghiệm.

=================================================

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC :

NĂM 2011 :

ĐÁP ÁN :

ĐẠI HỌC KHỐI A 2011 :

ĐÁP ÁN :

2.m = -1

——————————————————————————-

ĐẠI HỌC KHỐI A 2008 :

2 .m = ±1.

———————————————————————————————————

Câu I ĐẠI HỌC KHỐI D 2011 : (2,0 điểm)

Cho hàm số y=\frac{2x+1}{x+1}

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A B đến trục hoành bằng nhau.

ĐÁP ÁN : k =-3.

Câu I ĐẠI HỌC KHỐI b 2010 : (2,0 điểm)

Cho hàm số y=\frac{2x+1}{x+1}

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng  \sqrt{3}  (O là gốc tọa độ).

 ĐÁP ÁN : m= ±2.


BÀI 6 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đa thức

BÀI 6

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đa thức :

–o0o–

Các bước thực hiện :

  1. Tìm tập xác định hàm số.
  2. Xét sự biến thiên của hàm số.
  3. Tìm giới hạn tại vô cực.
  4. Lập bảng biến thiên :
  5. Vẽ đồ thị.
  6. Xác định các điểm đặc biệt (giao với các trục tọa độ).
  7. Tìm điểm uốn.
  8. Nhận xét.

Hàm bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d

Hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c

=======================================

CÂU HỎI và BÀI TẬP SGK :

BÀI 40 TRANG 43 NC :

a)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x3 + 3x2 – 4

b)      Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c)      Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng.

Giải.

a)Khảo sát sự biến thiên

TXĐ : R

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 3x2 + 6x

Cho y’ = 0 <=>  3x2 + 6x = 0 <=> x1 = 0 ; x2 = -2

  • Khi x1 = 0  => y1 = – 4
  • Khi x1 = -2  => y1 = 0

\lim_{x \to +\infty} y=+\infty; \lim_{x \to -\infty} y=-\infty

Lập bảng biến thiên :

x

-∞ -2 0 +∞

y’

       + 0         - 0         +

y

-∞      \nearrow 0   \searrow    -4    \nearrow +∞

Đạo hàm cấp 2 : y’’= 6x + 6

Cho y’’ = 0 <=>  6x + 6 = 0 <=> x = -1 => y = -2

Hàm số có điểm uốn : U(-1, -2)

Kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-2; 0)
  • hàm số đạt cực đại tại A ( -2; 0)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B (0; -4)

bảng giá trị :

x -2 -1 0 1
y 0 -2 -4 0

Vẽ đồ thị (C) :

b)Viết phương trình tiếp tuyến :

đồ thị (C) có điểm uốn : U(-1, -2)

hệ số góc : f’(xU) = 3.(-1)2 + 6(-1) = -3

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại U(-1, -2):

y = f’(xU)(x – xU) + yU

y = -3(x +1) – 2 =-3x  –  5

vậy : y = -3x  –  5

c)Chứng minh rằng điểm uốn U(-1, -2) là tâm đối xứng.

chuyển đồ thị (C) trên hệ trục Oxy về hệ trục UXY, ta có :

\begin{cases} x = X - 1\\ y=Y-2\end{cases} (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

(Y – 2) = (X – 1)3 + 3(X – 1)2 – 4

Y = X3 – 3X

Xét : f(-X) = (-X)3 – 3(-X) = -X3 + 3X = -( X3 – 3X) = -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ U làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân U làm tâm đối xứng.

—————————————————————————————————————-

BÀI 47 TRANG 45 NC :

Cho hàm số : y = x4 – (m + 1)x2 + m

a)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

b)      Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m.

Giải.

a)      y = x4 – 3x2 + 2

TXĐ : R

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 4x3 – 6x = x(4x2 – 6)

Cho y’ = 0 <=>  x(4x2 – 6)= 0 <=> x1 = 0 ; x2 = \frac{\sqrt{6}}{2} ; x3 = -\frac{\sqrt{6}}{2}

Khi x1 = 0  => y1 = 2

Khi x2 = \frac{\sqrt{6}}{2}   => y2 = -1/4

Khi x3 = -\frac{\sqrt{6}}{2}   => y3 = -1/4

\lim_{x \to +\infty} y=+\infty; \lim_{x \to -\infty} y=+\infty

Lập bảng xét dấu.

x -∞ \frac{\sqrt{6}}{2} 0 \frac{\sqrt{6}}{2} +∞
Y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ \searrow -1/4 \nearrow 2 \searrow -1/4 \nearrow +∞

Kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng (-\frac{\sqrt{6}}{2}; 0) và (\frac{\sqrt{6}}{2}; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-\frac{\sqrt{6}}{2}) v (0; \frac{\sqrt{6}}{2})
  • hàm số đạt cực đại tại A ( 0; 2)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B (-\frac{\sqrt{6}}{2}; -1/4) và C(\frac{\sqrt{6}}{2}; -1/4)

Vẽ đồ thị (C) :

b)      gọi M(x, y)là điểm cố định (C) đi qua, ta được :

y = x4 – (m + 1)x2 + m  đúng mọi m

⇔ (1 – x2)m = y – x4 + x2

Phương trình đúng mọi m khi :

\begin{cases} 1-x^2=0\\ y-x^4+x^2=0\end{cases} (*)

x = 1 => y = 0 => M1(1, 0)

x= -1 => y = 0=> M2(-1, 0)

vậy :  (C) đi qua điểm cố định M1(1, 0) và M2(-1, 0)

=============================================

DỀ THI- ĐÁP ÁN TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC :

2012 – đáp án :

NĂM 2010 :

ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 :

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 173 other followers