Posts Tagged ‘khảo sát hàm số’

Chuyên đề : khảo sát hàm số

Chuyên đề : khảo sát hàm số

(Trích đề thi – đáp án môn toán : tốt nhiệp phổ thông và đại học)

–o0o–

Đề thi – đáp án tốt nhiệp phổ thông năm 2011 :

Trích đề thi – đáp án môn toán : tốt nhiệp phổ thông và đại học các năm :

Xem chi tiết Chuyên đề : khảo sát hàm số link download.

BÀI 3 : HÀM SỐ BẬC hai y = ax^2 + bx + c

BÀI 3

HÀM SỐ BẬC hai y = ax2 + bx + c

–o0o–

Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax2 + bx + c (a ≠ 0):

TXĐ : D = R.

Tọa độ đỉnh I (-b/2a; f(-b/2a)). f(-b/2a) = -Δ/4a

Trục đối xứng : x = -b/2a Đọc tiếp

BÀI 2 : HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b

BÀI 2

HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b

–o0o–

Khảo sát hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0):

TXĐ : D = R.

Tính biến thiên :

  • a > 0 hàm số đồng biến trên R.
  • a < 0 hàm số nghịch biến trên R. Đọc tiếp

BÀI 1 : HÀM SỐ

BÀI 1

HÀM SỐ

1.Định nghĩa :

Giả sử có hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập số D.

Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập số D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số. Đọc tiếp

BÀI 8 : MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

BÀI 8

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

–o0o–

Vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số :

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (c) và y = g(x) có đồ thị (S)

Tọa độ giao điểm của (C) và (S) là nghiệm của hệ :

\begin{cases} y=f(x) \\ y=g(x)\end{cases} (a)

Phương trình hoành độ giao điểm của (c) và (s) :

f(x) = g(x) (*)

  • Phương trình (*) có nghiệm đơn <=> (c) và (s) cắt nhau tại điểm đó.
  • Phương trình (*) có nghiệm kép <=> (c) và (s) tiếp xúc nhau tại điểm đó.
  • Phương trình (*) vô nghiệm <=> (c) và (s) không cắt nhau tại điểm đó.

sự tiếp xúc hai đường cong :

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (c) và y = g(x) có đồ thị (S)

Hoành độ tiếp điểm  của (C) và (S) là nghiệm của phương trình :

\begin{cases} f(x)=g(x) \\f'(x)=g'(x)\end{cases} (b)

Phương trình tiếp tuyến tại một điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị :

y = f’(x0)(x – x0) + y0

======================

BÀI TẬP BỔ SUNG :

Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số y=\frac{2x+1}{2x-1}

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2 (d)

Giải.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

MXĐ : D = R \ {\frac{1}{2} }

Đạo hàm : y’ = \frac{-4}{(2x-1)^2} < 0

Giới hạn :

\lim_{x \to (\frac{1}{2})^+} y=+\infty; \lim_{x \to (\frac{1}{2})^-} y=-\infty

Tiện cận đứng : x = {\frac{1}{2}

\lim_{x \to +\infty} y=1; \lim_{x \to -\infty} y=1

Tiện cận ngang : y = 1

Bảng biến thiên :

x

-∞ 1/2 +∞

y’

- 0 -

y

1 \searrow -∞ || +∞ \searrow 1

kết luận : hàm số giảm trên D.

Đồ thị :

2) Phương trình hoành độ giao điểm của (c) và (d) :

y=\frac{2x+1}{2x-1}=x+2

<=> 2x2 + x – 3 = 0

<=> x1 = 1 v x2 = -3/2

Khi x1 = 1 => y1 = 3 => A(1; 3)

Khi x2 = -3/2 => y2 = 1/2 => B(-3/2; 1/2)

Vậy (c) cắt (d) tại A(1; 3) và B(-3/2; 1/2)

Bài 2 :

Câu 1 TNPT 2011 (3,0 điểm). Cho hàm số y=\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+5

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.

Giải.

TXĐ : R

Đạo hàm : y’ = 3x2/4 – 3x

Cho y’ = 0 <=> 3x2/4 – 3x = 0 <=> x1 = 0 ; x2 = 4

Khi x1 = 0 => y1 = 5

Khi x2 = 4=> y2 = -3

Giới hạn :\lim_{x \to +\infty} y=+\infty; \lim_{x \to -\infty} y=-\infty

Lập bảng xét dấu.

x

-∞ 0 4 +∞

y’

+ 0 - 0 +

y

-∞ \nearrow 5 \searrow -3 \nearrow +∞

Kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 0) và (4; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (0; 4)
  • hàm số đạt cực đại tại A ( 0; 5)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B (4; -3)

bảng giá trị :

x -2 0 4 6
y -3 5 -3 5

Vẽ đồ thị C :

2) x3 – 6x2 + m = 0

<=> \frac{1}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+5=5-\frac{m}{4}

Đặt :

y=\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{2}x^2+5 có đồ thị (C)

y=5-\frac{m}{4} có đồ thị (d)

Dựa vào đồ thị (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt khi :

-3<5-\frac{m}{4}<5

<=> 0 < m < 32

Vậy : 0 < m < 32 thì đồ thị (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt hay phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Phương pháp giải phương trình tìm tham số biết đồ thị (C) y = f(x) :

f(x, m) = 0

ta chuyển về dạng : f(x) = g(m)

đặt : y = f(x) có đồ thị (c) và y = g(m) có đồ thị (d): hàm hằng.

số giao điểm của (c) và (d) là số nghiệm của phương trình. Dựa vào đồ thị ta tìm được giá trị của g(m). suy ra giá trị của m.

=====================================

TNPT – ĐÁP ÁN  2012 (3,0 điểm).

Câu 1 TNPT 2009 (3,0 điểm).

Cho hàm y=\frac{2x+1}{x-2}

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5.

ĐÁP ÁN :

Câu I CAO ĐẲNG 2011 (2,0 điểm)

Cho hàm số y = \frac{1}{3}x3 +2x2 – 3x +1 $

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

 ĐÁP ÁN :

ĐẠI HỌC KHỐI A 2010 :

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 7 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số phân thức

BÀI 7

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số phân thức

–o0o–

Hàm nhất biến : y=\frac{ax+b}{cx+d}

bài 49 trang 49 nc :

Cho hàm số y=\frac{x-2}{2x+1}

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) chứng minh rằng giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị

Giải.

1)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

MXĐ : D = R \ {-\frac{1}{2} }

Đạo hàm : y’ = \frac{5}{(2x+1)^2} > 0

Giới hạn :

\lim_{x \to (-\frac{1}{2})^+} y=-\infty; \lim_{x \to (-\frac{1}{2})^-} y=+\infty

Tiện cận đứng : x = -\frac{1}{2}

\lim_{x \to +\infty} y=1/2; \lim_{x \to -\infty} y=1/2

Tiện cận ngang : y = 1/2

Bảng biến thiên :

x

-∞ -1/2 +∞

y’

       + 0         +

y

   1/2   \nearrow     -∞ ||  +∞ \nearrow 1/2

kết luận :

hàm số tăng trên D.

hàm số nhận I(-1/2, 1/2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Các điểm đặc biệt :

Giao trục hoành : y = 0 => x = 2 => A(2, 0)

Giao trục tung : x = 0 => y = -2 => B(0, -2)

Đồ thị :

b) I(-1/2, 1/2) tâm đối xứng của đồ thị :

chuyển hệ trục Oxy về hệ trục IXY, ta có :

\begin{cases} x = X - \frac{1}{2} \\ y=Y+\frac{1}{2}\end{cases} (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

Y+\frac{1}{2}=\frac{ X - \frac{1}{2}-2}{2(X - \frac{1}{2})+1}

Y=\frac{ -5}{4X}

Xét : f(-X) =\frac{ -5}{-4X}= -\frac{ -5}{4X} = -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân I làm tâm đối xứng.

HÀM SỐ HỮU TỈ : y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}

Cho hàm số y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

3) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận phương trình sau :

\frac{2x^2+5x+4}{x+2}+m=0

Giải.

1)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}=2x+1+\frac{2}{x+2}

MXĐ : D = R \ {-2 }

Đạo hàm : y’ = \frac{2x^2+6x+8}{(x+2)^2}

Cho y’ = 0 <=> 2x2 + 8x + 6 = 0 <=> x1 = -1 v x2 = -3

Khi x1 = -1 => y1 = 1

Khi x2 = -3 => y2 = -7

Giới hạn :

\lim_{x \to -\infty}y =-\infty; \lim_{x \to +\infty}y =+\infty

\lim_{x \to (-2)^+} y=+\infty; \lim_{x \to (-2)^+} y=-\infty

Tiện cận đứng : x = -2

\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x+2}=0

Tiện cận xiên : y = 2x + 1

Bảng biến thiên :

x -∞

-3

-2

-1

+∞
y’

+

0

-

||

-

0

+

y -∞

\nearrow

-7

\searrow

-∞

||

+∞\searrow

1

\nearrow

+∞

kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng(-∞; -3) và (-1; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-3; -1)\{-2}
  • hàm số đạt cực đại tại A ( -3; -7)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B(-1; 1)

Các điểm đặc biệt :

Giao trục tung : x = 0 => y = 2 => B(0, 2)

Đồ thị :

2) tâm đối xứng của đồ thị :

giao điểm tiện cận đứng và tiện cận xiên : x = -2 => y = 2.(-2) + 1 = -3 => I(-2; -3).

chuyển hệ trục Oxy về hệ trục IXY, ta có :

\begin{cases} x = X - 2 \\ y=Y-3\end{cases} (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

Y-3=\frac{2(X-2)^2+5(X-2)+4}{(X-2)+2}=

Y=\frac{ 2X^2+2}{X}

Xét : f(-X) =\frac{ 2(-X)^2+2}{-X} = -\frac{ 2X^2+2}{X}= -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân I làm tâm đối xứng.

3. biện luận nghiệm phương trình : \frac{2x^2+5x+4}{x+2}+m=0 (*)

<=> \frac{2x^2+5x+4}{x+2}=-m

Đặt :

y = \frac{2x^2+5x+4}{x+2} (C)

y = – m (d)

vị trí tương đối của (C) và (d) :

vị trí tương đối của (C) và (d) : Giá trị m Số nghiệm phương trình (*)
Cắt tại hai điểm phân biệt. -m > 1 <=> m < -1 Hai nghiệm phân biệt.
Tiếp xúc nhau tại một điểm - m = 1 <=> m = -1 Nghiệm kép.
Không cắt nhau. -7 < – m < 1 <=> -1 < m < 7 Vô nghiệm.
Tiếp xúc nhau tại một điểm - m = -7 <=> m = 7 Nghiệm kép.
Cắt tại hai điểm phân biệt. -7 < -m > 1 <=> m > 7 Hai nghiệm phân biệt.

Kết luận :

  • Khi m > 7 v m < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
  • Khi m = 7 v m = -1 thì phương trình có hai nghiệm kép.
  • Khi -1 < m < 7 thì phương trình vô nghiệm.

=================================================

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC :

NĂM 2011 :

ĐÁP ÁN :

ĐẠI HỌC KHỐI A 2011 :

ĐÁP ÁN :

2.m = -1

——————————————————————————-

ĐẠI HỌC KHỐI A 2008 :

2 .m = ±1.

———————————————————————————————————

Câu I ĐẠI HỌC KHỐI D 2011 : (2,0 điểm)

Cho hàm số y=\frac{2x+1}{x+1}

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A B đến trục hoành bằng nhau.

ĐÁP ÁN : k =-3.

Câu I ĐẠI HỌC KHỐI b 2010 : (2,0 điểm)

Cho hàm số y=\frac{2x+1}{x+1}

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng  \sqrt{3}  (O là gốc tọa độ).

 ĐÁP ÁN : m= ±2.


BÀI 6 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đa thức

BÀI 6

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đa thức :

–o0o–

Các bước thực hiện :

  1. Tìm tập xác định hàm số.
  2. Xét sự biến thiên của hàm số.
  3. Tìm giới hạn tại vô cực.
  4. Lập bảng biến thiên :
  5. Vẽ đồ thị.
  6. Xác định các điểm đặc biệt (giao với các trục tọa độ).
  7. Tìm điểm uốn.
  8. Nhận xét.

Hàm bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d

Hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c

=======================================

CÂU HỎI và BÀI TẬP SGK :

BÀI 40 TRANG 43 NC :

a)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x3 + 3x2 – 4

b)      Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c)      Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng.

Giải.

a)Khảo sát sự biến thiên

TXĐ : R

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 3x2 + 6x

Cho y’ = 0 <=>  3x2 + 6x = 0 <=> x1 = 0 ; x2 = -2

  • Khi x1 = 0  => y1 = – 4
  • Khi x1 = -2  => y1 = 0

\lim_{x \to +\infty} y=+\infty; \lim_{x \to -\infty} y=-\infty

Lập bảng biến thiên :

x

-∞ -2 0 +∞

y’

       + 0         - 0         +

y

-∞      \nearrow 0   \searrow    -4    \nearrow +∞

Đạo hàm cấp 2 : y’’= 6x + 6

Cho y’’ = 0 <=>  6x + 6 = 0 <=> x = -1 => y = -2

Hàm số có điểm uốn : U(-1, -2)

Kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-2; 0)
  • hàm số đạt cực đại tại A ( -2; 0)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B (0; -4)

bảng giá trị :

x -2 -1 0 1
y 0 -2 -4 0

Vẽ đồ thị (C) :

b)Viết phương trình tiếp tuyến :

đồ thị (C) có điểm uốn : U(-1, -2)

hệ số góc : f’(xU) = 3.(-1)2 + 6(-1) = -3

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại U(-1, -2):

y = f’(xU)(x – xU) + yU

y = -3(x +1) – 2 =-3x  –  5

vậy : y = -3x  –  5

c)Chứng minh rằng điểm uốn U(-1, -2) là tâm đối xứng.

chuyển đồ thị (C) trên hệ trục Oxy về hệ trục UXY, ta có :

\begin{cases} x = X - 1\\ y=Y-2\end{cases} (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

(Y – 2) = (X – 1)3 + 3(X – 1)2 – 4

Y = X3 – 3X

Xét : f(-X) = (-X)3 – 3(-X) = -X3 + 3X = -( X3 – 3X) = -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ U làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân U làm tâm đối xứng.

—————————————————————————————————————-

BÀI 47 TRANG 45 NC :

Cho hàm số : y = x4 – (m + 1)x2 + m

a)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

b)      Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m.

Giải.

a)      y = x4 – 3x2 + 2

TXĐ : R

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 4x3 – 6x = x(4x2 – 6)

Cho y’ = 0 <=>  x(4x2 – 6)= 0 <=> x1 = 0 ; x2 = \frac{\sqrt{6}}{2} ; x3 = -\frac{\sqrt{6}}{2}

Khi x1 = 0  => y1 = 2

Khi x2 = \frac{\sqrt{6}}{2}   => y2 = -1/4

Khi x3 = -\frac{\sqrt{6}}{2}   => y3 = -1/4

\lim_{x \to +\infty} y=+\infty; \lim_{x \to -\infty} y=+\infty

Lập bảng xét dấu.

x -∞ \frac{\sqrt{6}}{2} 0 \frac{\sqrt{6}}{2} +∞
Y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ \searrow -1/4 \nearrow 2 \searrow -1/4 \nearrow +∞

Kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng (-\frac{\sqrt{6}}{2}; 0) và (\frac{\sqrt{6}}{2}; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-\frac{\sqrt{6}}{2}) v (0; \frac{\sqrt{6}}{2})
  • hàm số đạt cực đại tại A ( 0; 2)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B (-\frac{\sqrt{6}}{2}; -1/4) và C(\frac{\sqrt{6}}{2}; -1/4)

Vẽ đồ thị (C) :

b)      gọi M(x, y)là điểm cố định (C) đi qua, ta được :

y = x4 – (m + 1)x2 + m  đúng mọi m

⇔ (1 – x2)m = y – x4 + x2

Phương trình đúng mọi m khi :

\begin{cases} 1-x^2=0\\ y-x^4+x^2=0\end{cases} (*)

x = 1 => y = 0 => M1(1, 0)

x= -1 => y = 0=> M2(-1, 0)

vậy :  (C) đi qua điểm cố định M1(1, 0) và M2(-1, 0)

=============================================

DỀ THI- ĐÁP ÁN TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC :

2012 – đáp án :

NĂM 2010 :

ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 :

Bài 5 : ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 5

ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

–o0o–

Định nghĩa :

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). M \in (C), MH là khoảng cách từ M đến đường thẳng (d).

Đường thẳng (d) gọi là tiệm cận của hàm số Nếu MH tiến đến 0 khi x tiến đến vô cùng.

tiệm cận đứng : x = a.

Nếu  \lim_{x \to a} y=\infty thì Tiện cận đứng : x = a.

tiệm cận ngang : y = b.

Nếu  \lim_{x \to \infty } y= b thì tiệm cận ngang : y = b.

tiệm cận xiên : y = ax + b.

Nếu  \lim_{x \to \infty } [f(x)-(ax+b)] thì tiệm cận xiên : y = ax + b.

Phương pháp tìm :

tiệm cận xiên : y = ax + b của hàm số f(x) với.

a = \lim_{x \to \infty } \frac {f(x) }{x} ≠ 0

b = \lim_{x \to \infty } [f(x)-ax ]

=======================================

CÂU HỎI và BÀI TẬP SGK :

BÀI 34 :

BÀI 4: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI 4

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ .

–o0o–

Định nghĩa :

Đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D là tập hợp các điểm (x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ.

Phép tịnh tiến hệ trục tọa độ và công thức chuyển trục :

\begin{cases} x = X + x_0 \\ y=Y+y_0 \end{cases}

BÀI 3 : giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

BÀI 3

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

–o0o–

Định nghĩa :

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

  • Nếu tồn tại một điểm x \in  D sao cho : f(x) ≤ f(x0) với x \in  D

thì số M = f(x0) được gọi giá trị lớn nhất của hàm số f trên D.

kí hiệu : M = max f(x).

  • Nếu tồn tại một điểm x \in  D sao cho : f(x) ≥ f(x0) với x \in  D

thì số M = f(x0) được gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D.

kí hiệu : M = min f(x).

phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :

  1. tìm các điểm x1, x2, …, xm thuộc [a,b] tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0.
  2. Tính f(x1), f(x2), …, f(xm). và f(a), f(b).
  3. so sánh.
  • Giá trị lớn nhất của hàm số  : Max f(x) = max [f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xm)]
  • Giá trị nhỏ nhất của hàm số  : Min f(x) = min [f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xm)]

===========================================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 17 TRANG 22 NC :

a) f(x) = x2 + 2x – 5 trên đoạn [-2, 3]

giải.

MXĐ : D = R

Xét [-2, 3] nằm trong D.

f’(x) = 2x+ 2

cho f’(x) = 0 <=> 0 = 2x+ 2 <=> x = -1

ta có :

f(-1) = -6

f(-2) = -9

f(3) = 10

max f(x) = max[-6, -9, 10] = 10

min f(x) = min[-6, -9, 10] = -9

—————————————————————————

Câu VII.b DH KHỐI D (1,0 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \frac{2x^2+3x+3}{x+1} trên đoạn [0; 2].

ĐÁP ÁN :

BÀI 2 : cực trị của hàm số

BÀI 2 

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

–o0o–

Định nghĩa :

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D và x0 \in D.

  • x0 gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x0 sao cho (a, b)  tập con của D và :

f(x) < f(x0) với mọi x \in (a, b)\ {x0}.

Khi đó f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

  • x0 gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x0 sao cho (a, b)  tập con của D và :

f(x) > f(x0) với mọi x \in (a, b)\ {x0}.

Khi đó f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

  1. Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
  2. giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.

Định lí 1 : (đk cần để hàm số đạt cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0. khí đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f’(x0) = 0.

Định lí 2 : (đk đủ để hàm số đạt cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) chứa điểm x0. Và có đạo hàm trên khoảng (a, x0) và(x0, b). khi đó :

  • Nếu f’(x) < 0 với mọi x \in (a, x0) và  f’(x) > 0 với mọi x \in (x0, b) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
  • Nếu f’(x) > 0 với mọi x \in (a, x0) và  f’(x) < 0 với mọi x \in (x0, b) thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Dạng bảng biến thiên :

x a x0 b
f’(x)

-

0

+

f (x) \searrow f(x0)
(cực tiểu)
\nearrow
x a x0 b
f’(x)

+

0

-

f (x) \nearrow f(x0)(cực tiểu) \searrow

Định lí 3 :

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 1 trên trên khoảng (a, b) chứa điểm x0 ; f’(x0) = 0 và f  có đạo hàm cấp 2 khác 0  tại x0.

  • Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
  • Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu  tại điểm x0.

 ==============================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 11 TRANG 16 nc :

C)    y=x+\frac{1}{x}

giải.

MXĐ : D = R\{0}.

Đạo hàm cấp 1 :y’ =1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}

Cho y’ = 0 <=> x2 – 1 = 0 <=> x1 = 1  v x2 = -1

Khi  x1 = 1 => y1 = 4

Khi  x2 = -1  => y2 = -4

Bảng biến thiên :

x

-∞ -1 0 1 +∞

y’

       +     0         -

||       -

   0         +

y

\nearrow -4    \searrow ||   \searrow   4     \nearrow

Kết luận :

Hàm số có điểm cực đại : (-1, -4 )

Hàm số có điểm cực tiểu :  (1, 4 )

——————————————————————————

 Câu 2. TNPT 2011 (3,0 điểm) :

3) Xác định giá trị của tham số để hàm số y = x3 – 2x2 + mx +1 đạt cực tiểu tại x = 1.

ĐÁP ÁN :

Câu I DH KHỐI B 2011 (2,0 điểm)

Cho hàm số  y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (1), m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B C là hai điểm cực trị còn lại.

ĐÁP ÁN :


========================================================

Đề kiểm tra chất lượng đầu năm

môn toán lớp 12

Thời gian : 90 phút.

A phần chung dành cho tất cả thi sinh (7 điểm )

Câu 1 : (2 điểm )

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau :

a) y = x3 – 3x2 + 4. b) y = -x4 + 8x2 + 2012

Câu 2 : (1 điểm )

Chứng minh rằng : 2sinx + tanx > 3x với mọi x thuộc (0, π/2)

Câu 3 : (1 điểm )

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :

y = f(x) = y = -x3 – 3x2 + 9x + 4 trên đoạn [-2, 3].

Câu 4 : (1,5 điểm )

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a\sqrt{3} . cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng đáy (ABC), góc giữa cạnh bên SC với mặt phẳng đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Câu 5 : (1,5 điểm )

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = 3a. cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa cạnh bên SD với mặt phẳng đáy (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

B Phần riêng (3 điểm). Học sịnh chọn một trong hai phần :

1. Theo chương trình chuẩn :

Câu 6a : (1 điểm )

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = = 4x + 3\sqrt{1 - x^2}

Câu 7a : (1 điểm ) Cho hàm số y = \frac{1}{3}x3 – (m – 2)x2 – (2m2 + 3m – 8)x + 5 (1)

Xác định m để hàm số (1) có 2 cực trị.

Câu 8a : (1 điểm ) Cho hàm số y = \frac{x-2m^2-3}{x-1} (2).

Tìm m để hàm số (2) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-2, 0] bằng \frac{13}{3}.

2.Theo chương trình nâng cao :

Câu 6b : (1 điểm )

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x + \sqrt{2}cosx trên đoạn [0, π].

Câu 7b : (1 điểm ) Cho hàm số y = \frac{x^2+mx-4}{x+1} (1)

Xác định m để hàm số (1) có 2 cực trị nằm ở hai phía so trục hoành.

Câu 8b : (1 điểm ) Cho hàm số y = -\frac{1}{3}x3 + (m – 3)x2 – (2m2 – 8m + 10)x – 2 (2)

Tìm m để hàm số (2) có giá trị lớn nhất trên đoạn [-3, 1] bằng 10.

HẾT.

Bài 1 : Tính đơn điệu của hàm số.

Bài 1

Tính đơn điệu của hàm số.

–o–

Định nghĩa :

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K.

Hàm số được gọi là đồng biến trên K nếu :

x1, x2 \in K :   x1 < x2 => f(x1)< f(x2) .

Hàm số được gọi là nghịch biến trên K nếu :

x1, x2 \in K :   x1 < x2 => f(x1)> f(x2) .

định lí : (ứng dụng đạo hàm)

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

  • Nếu f’(x) > 0 với x \in I thì hàm số f đồng biến trên I.
  • Nếu f’(x) < 0 với x \in I thì hàm số f nghịch biến trên I.
  • Nếu f’(x) = 0 với x \in I thì hàm số f không đổi trên I.

ứng dụng :

xét tính biến thiên hàm số dưới dạng bảng biến thiên.

Định lí :

Nếu hàm sô f(x) liên tục và đơn điệu trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì f(x) = 0 có duy nhất một nghiệm thuộc (a, b).

======================

Câu hỏi và bài tập :

Bài 1 : trang 7 sgknc : xét chiều biến thiên của hàm số sau :

a)      y = 2x3 + 3x2 + 1

c)      y=x+\frac{3}{x}

f) y=\sqrt{4-x^2}

giải.

MXĐ : D = R.

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 6x2 + 6x

Cho y’ = 0 <=> 6x2 + 6x = 0 <=> x1 = 0 v x2 = -1

  • Khi  x1 = 0 => y1 = 1
  • Khi  x2 = -1 => y2 = 2

Bảng biến thiên :

x

-∞ 0 1 +∞

y’

       + 0         - 0         +

y

       \nearrow 1   \searrow   2    \nearrow

Kết luận :
hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ , 0) v (1, +∞).
hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 1).

——————————————————————————————

c)      y=x+\frac{3}{x}

giải.

MXĐ : D = R\{0}.

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 1-\frac{3}{x^2}=\frac{x^2-3}{x^2}

Cho y’ = 0 <=> x2 – 3 = 0 <=> x1 = \sqrt{3}  v x2 = -\sqrt{3}

Khi  x1 = \sqrt{3} => y1 = 2\sqrt{3}

Khi  x2 = -\sqrt{3}  => y2 = -2\sqrt{3}

Bảng biến thiên :

x

-∞ -\sqrt{3} 0 \sqrt{3} +∞

y’

       + 0         -

-

||

0         +

y

          \nearrow

-2\sqrt{3}    \searrow

||   \searrow

   2\sqrt{3}     \nearrow

Kết luận :

hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ , -\sqrt{3}) v (\sqrt{3}, +∞).

hàm số nghịch biến trên khoảng (-\sqrt{3}, -\sqrt{3})\{0}.

——————————————————————————————————

f)y=\sqrt{4-x^2}

MXĐ : D

Đk : 4 –x2 ≥ 0 <=> -2 ≤ x ≤ 2

=> D = [-2, 2]

Đạo hàm cấp 1 : y’ = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}

Cho y’ = 0 <=> – 6x = 0 <=> x = 0 => y  = 2

Bảng biến thiên :

x -2 0 2
Y’

+

0

-

y 0

\nearrow

2

\searrow

0

kết luận :

hàm số đồng biến trên khoảng (-2 , 0)

hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài 8 trang 8 : chứng minh bất đẳng thức :

sinx < x với mọi x > 0

sinx > x với mọi x < 0

giải.

xét hàm số : y = f(x) =  x – sinx

MXĐ : D = R

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 1 – cosx

Mà : cosx ≤ 1 luôn đúng mọi x <=> 1 – cosx  ≥ 0

=>  y’ ≥ 0 x mọi x.

=> y = f(x) =  x – sinx đồng biến trên khoảng D.

Ta có : 0 < x => f(0) < f(x)

<=> 0 –sin0 < x – sinx

<=> 0 < x – sinx

<=> sinx < x  đpcm. (1)

Ta có :  x < 0 => f(x) < f(0)

<=> x – sinx < 0 – sin0

<=>  x – sinx < 0

<=> sinx > x  đpcm. (2)

từ (1) và (2) :  sinx < x với mọi x > 0 ; sinx > x với mọi x < 0

======================================

DẠNG hàm số đơn điệu trên miền xác định :

Bài 1 : Xác định m hàm số  luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.

a)      y = x3 + 2x2 + 3(m + 1)x – m .

b)      y=\frac{x+2m}{x-m}

c)      y=\frac{x^2-x+m}{x-2}

Giải.

a)      y = x3 + 2x2 + 3(m + 1)x – m .

TXĐ : D = R.

đạo hàm cấp 1 :  y’ = 3x2 + 4x + 3(m + 1)

Để hàm số luôn luôn đồng biến trên R khi : y’ > 0 mọi x thuộc D.

Hay : 3x2 + 4x + 3(m + 1) > 0 mọi x thuộc R.

khi : Δ’ < 0 và a > 0

4 – 9(m + 1) < 0 và 1 > 0

m > -5/9

vậy : m > -5/9

b)      y=\frac{x+2m-3}{x-m}

TXĐ : D = R\{m}.

đạo hàm cấp 1 :  y'=\frac{3-3m}{(x-m)^2}

Để hàm số luôn luôn đồng biến trên D khi : y’ > 0 với mọi x thuộc D.

Hay : \frac{3-3m}{(x-m)^2}>0

3 – 3m > 0 <=> m < 1

vậy : m < 1.

c)      y=\frac{x^2-x+m}{x-2}

TXĐ : D = R\{2}.

đạo hàm cấp 1 :  y'=\frac{ x^2-4x-m+2 }{(x-2)^2}

Để hàm số luôn luôn đồng biến trên D khi : y’ > 0 với mọi x thuộc D.

Hay : \frac{ x^2-4x-m+2 }{(x-2)^2}>0

x2 – 4x – m + 2 > 0  với mọi x thuộc D

nên : Δ’ < 0 và a > 0 <=> m + 2 < 0

vậy : m < -2.

Bài 2 :

===============================================

Cao Đẳng 2012 A – đáp Án :


================================================

Kiểm tra chất lượng đầu năm 2012 – 2013

môn toán lớp 12

Thời gian : 90 phút.

A phần chung dành cho tất cả thi sinh (8 điểm )

Câu 1 : (3 điểm )

  1. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1. Tìm m hàm số đồng biến trên R.
  2. Chứng minh hàm số y = x3 + x – cosx – 4 đồng biến trên R.
  3. Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2.

Câu 2 : (3 điểm )

  1. Xác định m để hàm số y = \frac{1}{3}x3 + mx2 + (m + 6)x – 1 có đạt cực đại và cực tiểu.
  2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = x + \sqrt{4 - x^2}
  3. Tìm giá trị của m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.

Câu 3 : (2 điểm )

Cho hình chóp tứ diện đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên a\sqrt{2} .

  1. Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
  2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

B Phần riêng (2 điểm). Học sịnh chọn một trong hai phần :

  1. 1. Theo chương trình chuẩn :

a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = sin3x + cos2x + sinx + 2.

b) Tìm cực trị của hàm số : y = 3 – 2cosx – cos2x

2.Theo chương trình nâng cao :

a) Giải phương trình : x2001 + x = 2

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số :
y = x3 – 3x2 + 2.

HẾT.

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 139 other followers