BÀI 2 : cực trị của hàm số

BÀI 2 

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

–o0o–

Định nghĩa :

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D và x0 \in D.

  • x0 gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x0 sao cho (a, b)  tập con của D và :

f(x) < f(x0) với mọi x \in (a, b)\ {x0}.

Khi đó f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

  • x0 gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x0 sao cho (a, b)  tập con của D và :

f(x) > f(x0) với mọi x \in (a, b)\ {x0}.

Khi đó f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

  1. Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
  2. giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.

Định lí 1 : (đk cần để hàm số đạt cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0. khí đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f’(x0) = 0.

Định lí 2 : (đk đủ để hàm số đạt cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) chứa điểm x0. Và có đạo hàm trên khoảng (a, x0) và(x0, b). khi đó :

  • Nếu f’(x) < 0 với mọi x \in (a, x0) và  f’(x) > 0 với mọi x \in (x0, b) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
  • Nếu f’(x) > 0 với mọi x \in (a, x0) và  f’(x) < 0 với mọi x \in (x0, b) thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Dạng bảng biến thiên :

x a x0 b
f’(x)

0

+

f (x) \searrow f(x0)
(cực tiểu)
\nearrow
x a x0 b
f’(x)

+

0

f (x) \nearrow f(x0)(cực tiểu) \searrow

Định lí 3 :

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 1 trên trên khoảng (a, b) chứa điểm x0 ; f’(x0) = 0 và f  có đạo hàm cấp 2 khác 0  tại x0.

  • Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
  • Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu  tại điểm x0.

 ==============================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 11 TRANG 16 nc :

C)    y=x+\frac{1}{x}

giải.

MXĐ : D = R\{0}.

Đạo hàm cấp 1 :y’ =1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}

Cho y’ = 0 <=> x2 – 1 = 0 <=> x1 = 1  v x2 = -1

Khi  x1 = 1 => y1 = 4

Khi  x2 = -1  => y2 = -4

Bảng biến thiên :

x

-∞ -1 0 1 +∞

y’

       +     0         –

||       –

   0         +

y

\nearrow -4    \searrow ||   \searrow   4     \nearrow

Kết luận :

Hàm số có điểm cực đại : (-1, -4 )

Hàm số có điểm cực tiểu :  (1, 4 )

——————————————————————————

 Câu 2. TNPT 2011 (3,0 điểm) :

3) Xác định giá trị của tham số để hàm số y = x3 – 2x2 + mx +1 đạt cực tiểu tại x = 1.

ĐÁP ÁN :

Câu I DH KHỐI B 2011 (2,0 điểm)

Cho hàm số  y = x4 – 2(m + 1)x2 + m (1), m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B C là hai điểm cực trị còn lại.

ĐÁP ÁN :


========================================================

Đề kiểm tra chất lượng đầu năm

môn toán lớp 12

Thời gian : 90 phút.

A phần chung dành cho tất cả thi sinh (7 điểm )

Câu 1 : (2 điểm )

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau :

a) y = x3 – 3x2 + 4. b) y = -x4 + 8x2 + 2012

Câu 2 : (1 điểm )

Chứng minh rằng : 2sinx + tanx > 3x với mọi x thuộc (0, π/2)

Câu 3 : (1 điểm )

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :

y = f(x) = y = -x3 – 3x2 + 9x + 4 trên đoạn [-2, 3].

Câu 4 : (1,5 điểm )

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a\sqrt{3} . cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng đáy (ABC), góc giữa cạnh bên SC với mặt phẳng đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Câu 5 : (1,5 điểm )

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = 3a. cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa cạnh bên SD với mặt phẳng đáy (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

B Phần riêng (3 điểm). Học sịnh chọn một trong hai phần :

1. Theo chương trình chuẩn :

Câu 6a : (1 điểm )

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = = 4x + 3\sqrt{1 - x^2}

Câu 7a : (1 điểm ) Cho hàm số y = \frac{1}{3}x3 – (m – 2)x2 – (2m2 + 3m – 8)x + 5 (1)

Xác định m để hàm số (1) có 2 cực trị.

Câu 8a : (1 điểm ) Cho hàm số y = \frac{x-2m^2-3}{x-1} (2).

Tìm m để hàm số (2) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-2, 0] bằng \frac{13}{3}.

2.Theo chương trình nâng cao :

Câu 6b : (1 điểm )

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x + \sqrt{2}cosx trên đoạn [0, π].

Câu 7b : (1 điểm ) Cho hàm số y = \frac{x^2+mx-4}{x+1} (1)

Xác định m để hàm số (1) có 2 cực trị nằm ở hai phía so trục hoành.

Câu 8b : (1 điểm ) Cho hàm số y = -\frac{1}{3}x3 + (m – 3)x2 – (2m2 – 8m + 10)x – 2 (2)

Tìm m để hàm số (2) có giá trị lớn nhất trên đoạn [-3, 1] bằng 10.

HẾT.

Advertisements

One response to this post.

  1. Cho em hỏi câu I đề ĐH khối B 2011 í ạ tại sao lại suy ra được tọa độ 3 điểm A,B,C vậy ạ ?

    Phản hồi

Gửi THẢO LUẬN (Bài Tập - bài Giải - ý kiến ) : "Nói 9 - Làm 10"

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: