BÀI 6 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đa thức

BÀI 6

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đa thức :

–o0o–

Các bước thực hiện :

  1. Tìm tập xác định hàm số.
  2. Xét sự biến thiên của hàm số.
  3. Tìm giới hạn tại vô cực.
  4. Lập bảng biến thiên :
  5. Vẽ đồ thị.
  6. Xác định các điểm đặc biệt (giao với các trục tọa độ).
  7. Tìm điểm uốn.
  8. Nhận xét.

Hàm bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d

Hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c

=======================================

CÂU HỎI và BÀI TẬP SGK :

BÀI 40 TRANG 43 NC :

a)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = x3 + 3x2 – 4

b)      Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c)      Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng.

Giải.

a)Khảo sát sự biến thiên

TXĐ : R

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 3x2 + 6x

Cho y’ = 0 <=>  3x2 + 6x = 0 <=> x1 = 0 ; x2 = -2

  • Khi x1 = 0  => y1 = – 4
  • Khi x1 = -2  => y1 = 0

\lim_{x \to +\infty} y=+\infty; \lim_{x \to -\infty} y=-\infty

Lập bảng biến thiên :

x

-∞ -2 0 +∞

y’

       + 0         – 0         +

y

-∞      \nearrow 0   \searrow    -4    \nearrow +∞

Đạo hàm cấp 2 : y’’= 6x + 6

Cho y’’ = 0 <=>  6x + 6 = 0 <=> x = -1 => y = -2

Hàm số có điểm uốn : U(-1, -2)

Kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-2; 0)
  • hàm số đạt cực đại tại A ( -2; 0)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B (0; -4)

bảng giá trị :

x -2 -1 0 1
y 0 -2 -4 0

Vẽ đồ thị (C) :

b)Viết phương trình tiếp tuyến :

đồ thị (C) có điểm uốn : U(-1, -2)

hệ số góc : f’(xU) = 3.(-1)2 + 6(-1) = -3

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại U(-1, -2):

y = f’(xU)(x – xU) + yU

y = -3(x +1) – 2 =-3x  –  5

vậy : y = -3x  –  5

c)Chứng minh rằng điểm uốn U(-1, -2) là tâm đối xứng.

chuyển đồ thị (C) trên hệ trục Oxy về hệ trục UXY, ta có :

\begin{cases} x = X - 1\\ y=Y-2\end{cases} (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

(Y – 2) = (X – 1)3 + 3(X – 1)2 – 4

Y = X3 – 3X

Xét : f(-X) = (-X)3 – 3(-X) = -X3 + 3X = -( X3 – 3X) = -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ U làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân U làm tâm đối xứng.

—————————————————————————————————————-

BÀI 47 TRANG 45 NC :

Cho hàm số : y = x4 – (m + 1)x2 + m

a)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

b)      Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m.

Giải.

a)      y = x4 – 3x2 + 2

TXĐ : R

Đạo hàm cấp 1 : y’ = 4x3 – 6x = x(4x2 – 6)

Cho y’ = 0 <=>  x(4x2 – 6)= 0 <=> x1 = 0 ; x2 = \frac{\sqrt{6}}{2} ; x3 = -\frac{\sqrt{6}}{2}

Khi x1 = 0  => y1 = 2

Khi x2 = \frac{\sqrt{6}}{2}   => y2 = -1/4

Khi x3 = -\frac{\sqrt{6}}{2}   => y3 = -1/4

\lim_{x \to +\infty} y=+\infty; \lim_{x \to -\infty} y=+\infty

Lập bảng xét dấu.

x -∞ \frac{\sqrt{6}}{2} 0 \frac{\sqrt{6}}{2} +∞
Y’ 0 + 0 0 +
y +∞ \searrow -1/4 \nearrow 2 \searrow -1/4 \nearrow +∞

Kết luận :

  • hàm số đồng biến trong khoảng (-\frac{\sqrt{6}}{2}; 0) và (\frac{\sqrt{6}}{2}; +∞)
  • hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-\frac{\sqrt{6}}{2}) v (0; \frac{\sqrt{6}}{2})
  • hàm số đạt cực đại tại A ( 0; 2)
  • hàm số đạt cực tiểu tại B (-\frac{\sqrt{6}}{2}; -1/4) và C(\frac{\sqrt{6}}{2}; -1/4)

Vẽ đồ thị (C) :

b)      gọi M(x, y)là điểm cố định (C) đi qua, ta được :

y = x4 – (m + 1)x2 + m  đúng mọi m

⇔ (1 – x2)m = y – x4 + x2

Phương trình đúng mọi m khi :

\begin{cases} 1-x^2=0\\ y-x^4+x^2=0\end{cases} (*)

x = 1 => y = 0 => M1(1, 0)

x= -1 => y = 0=> M2(-1, 0)

vậy :  (C) đi qua điểm cố định M1(1, 0) và M2(-1, 0)

=============================================

DỀ THI- ĐÁP ÁN TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC :

2012 – đáp án :

NĂM 2010 :

ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 :

21 responses to this post.

  1. Posted by danh on 02/10/2011 at 13:47

    chào thầy

    Trả lời

  2. khao sat su bien thien va ve do thi ham so: y=x3-3×2+2 txd: D=R y’=3×2-6x ?????

    Trả lời

  3. Thưa thầy, cho em hỏi hột câu.
    Từ một hàm số cho trước, ta có thể vẽ ra đồ thị hàm số. Vậy ngược lại, từ một đồ thị cho trước, ta lấy tập các giá trị biến thiên, từ tập giá trị biến thiên này, ta có thể xác định được các hệ số, bậc của hàm số hay không? Nói cách khác, là có cách nào để hồi qui, tìm các hệ số từ một đồ thị có dạng đường cong. Nếu có thể, xin thầy giảng rõ phương pháp để xác định các hệ số này.

    Trả lời

  4. Posted by huy on 04/10/2014 at 20:30

    cách vẽ bảng biên thiên lam sao ạ ! thanks thầy

    Trả lời

  5. Posted by quynh on 19/10/2014 at 20:25

    khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= x|x-3| -4 làm thế nào hả thầy?

    Trả lời

  6. Posted by trang huyen on 11/04/2015 at 20:18

    khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số y=x3+3×2-4 làm thế nào hả thầy?

    Trả lời

  7. Posted by Mỹ Vân on 12/06/2015 at 13:26

    thầy ơi, cách xét dấu khi có điểm bị gián đoạn như thế nào ạ ?

    Trả lời

  8. Posted by Nguyên Bình on 28/06/2015 at 12:55

    thầy ơi cho em hỏi khi mình tính giới hạn cách ghi dấu của lim của từng dạng thế nào cho đúng ạ?

    Trả lời

  9. Posted by Dũng on 30/06/2015 at 19:25

    thưa thầy e thường xác định giới hạn của hàm số thường nhầm.vầy lm sao để đýng,tránh bị nhầm lẩn thưa thầy

    Trả lời

    • Em xem lại :
      + cách tính giới hạn lớp 11.
      + phương pháp tìm giới hạn lớp 12.
      Nhớ nhanh : ghi nhớ các hình dạng cơ bản của các dạng đồ thị.

      Trả lời

  10. thưa thầy thầy có thể tìm cho em các bài toán lq đến khảo sát hàm số bậc 3 và 4 đc ko ạ

    Trả lời

  11. thầy giúp em câu này
    cho hàm số y= x^3 -3x 4 (1)
    chứng minh mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k( k>-3) đều cắt đồ thị hàm số (1) tại 3điểm phân biệt I,A,B đồng thời I là trung điểm của AB

    Trả lời

  12. Posted by bé by on 04/10/2015 at 21:12

    thưa thầy làm thế nào để mình xác đinh được những điểm cần phải có trên đồ thị.

    Trả lời

    • những điểm cần phải có trên đồ thị :
      + Cực trị (cực đại – cực tiểu).
      + điểm uốn, giao tiệm cận.
      + giao điểm với trục Ox, Oy.
      + Ngoài ra, em có thể cho thêm một số điểm (trên mỗi nhánh cho một điểm) để đình hình dạng cho đồ thị cân đối và chính xác.

      Trả lời

  13. Posted by thuychinh1998 on 25/10/2015 at 05:43

    thưa thầy khi ks hàm bậc 2, sao mình ko được đạo hàm như bậc 3

    Trả lời

    • Được chứ, em. nhưng, thông thường khi làm : hàm bậc hai có công thức ở lớp 10 , chúng ta áp dụng cho nhanh. Nếu em quên công thức em dùng phương pháp đạo hàm để khảo sát như hàm bậc 3.

      Trả lời

  14. Posted by 123456789 on 29/10/2015 at 13:57

    cách ấn mấy tính tìm nghiệm của pt bậc 4

    Trả lời

  15. Em chào thầy. Thầy ơi em có 1 bài tập này mà em không biết làm em xin thầy chỉ cho em cái ạ .
    Cho đồ thị hàm số y =ax3+bx2-x+3 có điểm uốn là I (-2;1).em cảm ơn thầy ạ.

    Trả lời

Gửi THẢO LUẬN (Bài Tập - bài Giải - ý kiến ) : "Nói 9 - Làm 10"

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: