Bài 9 : Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 9

Tính chất ba đường cao của tam giác

–o0o–

Định nghĩa :

Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao.

Định lí :

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. điểm này gọi là trực tâm.

Tính chất :

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung , đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.

===============================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 59 TRANG 83 : Cho hình 57 :

  1. Chứng minh : NS \bot   ML
  2. Khi \widehat{LNP} =50^0 . tính  \widehat{MSP} ; \widehat{PSQ }

GIẢI.

A/ Chứng minh : NS \bot   ML

Xét ΔMNL, TA CÓ :

LP \bot   MN (gt) => LP là đường cao thứ nhất.

MQ \bot   LN (gt) => MQ là đường cao thứ hai.

LP cắt MQ tại S.

=> S là trực tâm của ΔMNL

=> NS là đường cao thứ ba.

=> NS \bot   ML

b/ tính  \widehat{MSP} ; \widehat{PSQ }

Xét tam giác MNQ, ta có :

\widehat{QMN} +\widehat{MQN} + \widehat{QNM} = 180^0

\widehat{QMN}+ 90^0 + 50^0 = 180^0

=> \widehat{QMN} = 40^0

Xét tam giác MSP, ta có :

\widehat{MSP} +\widehat{SPM} + \widehat{ SMP} = 180^0

\widehat{MSP}+ 90^0 + 40^0 = 180^0

=> \widehat{MSP} = 50^0

Mà : \widehat{MSP}+\widehat{PSQ}= 180^0

50^0 +\widehat{PSQ}= 180^0

=> \widehat{PSQ}= 130^0

———————————————————————————————————–

BÀI 78 TRANG 32 SBT :

Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao CH cắt tia phân giác góc A tại D. chứng minh BD vuông góc AC.

GIẢI.

XÉT tam giác ABC cân tại A, Có :

AE là tia phân giác (gt)

=> AE đường cao thứ nhất.

CH đường cao thứ hai (gt) .

AE cắt CH tại D.

=> D là trực tâm.

=> BD là đường cao thứ ba.

=> BD vuông góc AC.


BÀI tổng ôn :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD  = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE  = AC.

a)      Chứng minh : BC = DE.

b)      Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.

c)      Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.

d)     Chứng minh : AM = DE/2.

GIẢI.

 

a) Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :

\widehat{BAC}= \widehat{DAC}=90^0 (đối đỉnh)

AB = AD (gt)

AC = AD (gt)

=> Δ ABC = Δ AED (hai cạnh góc vuông)

=> BC = DE

Xét Δ ABD, ta có :

\widehat{BAC}=90^0 (Δ ABC vuông tại A)

=> AD \bot AE

=>  \widehat{BAD}=90^0

=> Δ ABD vuông tại A.

mà : AB = AD (gt)

=> Δ ABD vuông cân tại A.

=>\widehat{BDC}=45^0

cmtt : \widehat{BCE}=45^0

=> \widehat{BDC}=\widehat{BCE}=45^0

mà : \widehat{BDC},\widehat{BCE} ở vị trí so le trong

=> BD // CE

b) Xét Δ MNC, ta có :

NK \bot MC = > NK là đường cao thứ 1.

MH \bot NC = > MH là đường cao thứ 2.

NK cắt MH tại A.

=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.

=> MN \bot AC tại I.

mà : AB \bot AC

=> MN // AB.

c) Xét Δ AMC, ta có :

 \widehat{MAE}= \widehat{BAH} (đối đỉnh)

\widehat{MEA}= \widehat{BCA} (Δ ABC = Δ AED)

=>\widehat{MAE}=\widehat{MEA} (cùng phụ góc ABC)

=> Δ AMC cân tại M

=> AM = ME (1)

Xét Δ AMI và Δ DMI, ta có :

\widehat{AIM }= \widehat{DIM}=90^0 (MN \bot AC tại I)

IM cạnh chung.

mặt khác : \widehat{IMA }= \widehat{MAE} (so le trong)

\widehat{DMI }= \widehat{MEA} (đồng vị)

mà : \widehat{MAE}=\widehat{MEA} (cmt)

=> \widehat{IMA }= \widehat{IMD}

=> Δ AMI = Δ DMI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

=> MA = MD (2)

từ (1) và (2), suy ta : MA = ME = MD

ta lại có : ME = MD = DE/2 (D, M, E thẳng hàng)

=>MA = DE/2.

 

===============================================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :

Cho ΔABC đều có cạnh 10cm. Từ A dựng tia Ay vuông góc với AB cắt BC tại M.

a/ Chứng minh: ΔACM cân.

b/ Kẻ AH \bot BC ( H\in BC), lấy điểm I \in AH. Biết AB < AM, chứng minh: IB < IM

c/ Kẻ CN \bot AM (N \in AM), nối HN. Chứng minh: ΔAHN đều

d/ Tính độ dài đoạn thẳng HN.

BÀI 2 :

Cho Δ ABC vuơng tại A và góc C = 300.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA .
a/ Chứng minh : ΔABD đều , tính góc DAC .
b/ Vẽ DE\bot AC (E\in AC). Chứng minh :  ΔADE  =  ΔCDE .
c/ Cho AB = 5cm , .Tính BC và AC.
d/ Vẽ AH\bot BC (H\in BC).  Chứng minh :AH + BC  > AB +AC

BÀI 3 :

Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH.về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ABD cân tại B, ACE cân tại C. từ C vẽ đường thẳng vuông góc BE cắt đường thẳng AH tại F. chứng minh :

  1. AF = BC.
  2. ΔABF = ΔBDC.
  3. AH, BE, CD đồng quy.

BÀI 4 :

Cho tam giác AHC vuông tại H.gọi M, N là trung điểm AH, HC.trên tia đối tia NM lấy điểm D sao cho ND = NM. Chứng minh :

  1. Tam giác NCD vuông tại D.
  2. AMC = DCM.
  3. từ A vẽ đường thẳng vuông góc AC cắt đường thẳng CH tại B. chứng minh BM vuông góc AN.

======================

BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. vẽ đường cao AH, lấy điểm D sao cho AB là đường trung trực của của HD, lấy điểm E sao cho AC là đường trung trực của của HE. Chứng minh rằng :

  1. D, E, A thẳng hàng.
  2. Tam giác DHE vuông.
  3. Gọi M là trung điểm của BC. chứng minh MA là đường trung trực của của DE.

BÀI 2 :

=============================================

ĐỀ THI :

Đề thi kiểm tra môn toán lớp 7 học kỳ II năm 2008 – 2009 Quận 5 tp.HCM

Môn toán lớp 7 (90 phút)

Bài 1 (1,5 đ) :

a) Tính giá trị của biểu thức tại x = 1; y = -1

3/4 xy5 +1/2 xy5 – 1/4 xy5

b) Tính tích của các đơn thức sau rồi tính bậc của đơn thức thu được :

-2x3y4 và 1/2 x2y

Bài 2 (2 đ) :Cho hai đa thức :

P(x) = x5 + 3x2 – 2x4 – x2

Q(x) = -3x4 + x5 – x2 + x + 3x2

a) Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính P(x) + Q(x); P(x) – Q(x).

Bài 3 (1 đ) :

Cho hai đa thức M(x) = x2 – 5x + 6. Chứng tỏ x = 2; x = 3 là hai nghiệm của đa thức đó.

Bài 4 (2 đ) :kết quả điều tra số con của 30 gia đình ở một tổ dân phố được ghi nhu sau :

1 2 1 0 2 1 2 3 1 3
0 2 4 1 2 2 1 3 2 3
2 3 2 4 3 3 2 2 1 2

Hãy lập bảng tần số và tính số trung bình cộng.

Bài 5 (3 đ) :

Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến.

a) Chứng minh : ΔAMB = ΔAMC. Suy ra góc AMB = 900.

b) Cho AB = 15cm, BC = 18cm. tính AM.

c) Gọi I là điểm nằm trong tam giác ABC và cách đều ba cạnh của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm A, I, M thẳng hàng.

Hết.

About these ads

30 responses to this post.

  1. Posted by Nguyễn Cát Tường on 29/04/2012 at 15:02

    thầy ơi, thầy xem bài này nè thầy: cho góc nhọn x0y, H nằm trên tia phân giác của góc x0y, từ H dựng các đường vuông góc tới 2 cạnh 0x, 0y, A thuộc 0x, B thuộc 0y.
    a. C/m T.G HAB cân
    b. Gọi D là hình chiếu của A trên 0y, C là giao điểm của AD và OH. C/m BC vuông góc 0x
    c. Khi góc x0y = 60 độ, C/m OA=2OD
    Em chứng minh câu c zầy được ko thầy, hơi dài dòng tý: Ta có x0y= 60 độ
    => góc 01= 02 = x0y/2 = 30 độ
    xét t.g OCE có:
    góc 01+góc OEC+góc OCE= 180 độ(..)
    => OCE=60 độ
    Xét t.g OCD có:
    góc 02+góc ODC+góc OCD=180 độ
    => góc ODC= 60 độ
    => góc ODC=góc ACH= 60 độ (đđ)
    Xét t.g OAH có:
    góc O1+ góc A+ góc H= 180 độ
    => góc H = 60 độ
    Xét t.g CAH có:
    góc ACH+ góc H+ góc CAH=180 độ
    => góc CAH=60 độ
    Ta có Â= góc CAH+ góc CAO= 90 độ
    mà góc CAH = 60 độ (cmt)
    => góc CAO= Â – góc CAH=90 độ – 60 độ
    => góc CAO= 30 độ
    Xét t.g EAC có:
    góc CEA+ góc EAC+ góc ECA=180 độ
    => góc ECA = 60 độ
    Xét t.g OAC có:
    góc C= góc OCE+góc ECA= 120 độ
    Cạnh đối diện vs góc C là cạnh OA
    t.g OCD có:
    góc OCD= 60 độ
    Cạnh đối diện vs góc OCD là cạnh OD
    mà góc C = 2.góc OCD
    => OA=2.OD (theo nhận xét về quan hệ giữa cạnh đối diện vs góc lớn hơn)

    Trả lời

    • Posted by Nguyễn Cát Tường on 29/04/2012 at 15:04

      Ec. Nhầm. Xét t/g OCD => góc OCD = 60 độ

      Trả lời

    • Em áp dụng không chính xác :
      t.g OCD có:
      góc OCD= 60 độ
      Cạnh đối diện vs góc OCD là cạnh OD
      mà góc C = 2.góc OCD
      => OA=2.O
      D (theo nhận xét về quan hệ giữa cạnh đối diện vs góc lớn hơn)

      ta có định lý :so sánh
      Định lí 1 :

      Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

      Định lí 2 :

      Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

      Trả lời

      • Posted by Nguyễn Cát Tường on 30/04/2012 at 15:49

        Zậy phải áp dụng như thế nào mới chính xác thầy?

        Trả lời

        • không có so sánh “=”
          Bài giải (dùng kết quả câu a,b )

          Xét ΔOAB, ta có :
          OA = OB (cmt)
          => ΔOAB cân tại O.
          góc xOy = 60 độ
          => ΔOAB đều .
          AD vuông góc OB => AD là đường cao
          => AD cũng là đường trung tuyến trong ΔOAB đều.
          => D là trung điểm OB
          =>OB = 2 OD
          mà : OA = OB (cmt)
          => OA = 2OD

          =>

          Trả lời

          • Posted by Nguyễn Hiễn on 01/05/2012 at 20:05

            Thưa thầy theo những câu trên ta đã có OA=OB rồi
            vậy áp dụng mà làm thôi ạ.

          • Posted by Vo Ha Duy on 16/04/2014 at 18:52

            Thầy ơi em không hiểu bài này ở chỗ Chứng minh Tam giác OAE đều. Vì OA = OB làm sao Tg OAE đều được ạ.

          • Em xem bài giải hoàn chỉnh phía trên , nhé.

  2. Cách của em là một cách làm nữa.
    + Em dùng kết quả câu a, b.
    + cách trình bày phía trên như một câu độc lập.

    Trả lời

  3. Posted by duy on 03/05/2012 at 19:00

    o ban thi thay lam o tren ay
    duong tung tuyen la gi em wen mat rui ^-^

    Trả lời

    • Posted by duy on 03/05/2012 at 19:13

      voi cau c cua Đề thi kiểm tra môn toán lớp 7 học kỳ II năm 2008 – 2009 bai 5 lam sao ha thay

      Trả lời

  4. Posted by manh on 25/04/2013 at 20:57

    rat hay thanks nhieu

    Trả lời

  5. Posted by bich on 03/05/2013 at 20:47

    em ko hieu de cua cau a

    Trả lời

  6. Posted by ca sau on 10/05/2013 at 15:41

    thay oi bai 58 sgk-83 lam ntn a

    Trả lời

    • Posted by Nguyễn Hùng Vĩ on 15/04/2015 at 19:57

      theo mình bài này giải như thế này

      Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của góc vuông là vì mỗi cạnh góc vuông của tam giác chính là đường cao của tam giác nên 2 cạnh góc vuông và đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cắt nhau tại đỉnh góc vuông
      Nếu tam giác ABC có góc A tù => BC là cạnh lớn nhất
      => BC >BA
      Kẻ đường cao BL thì LA,LC là 2 hình chiếu của BA,BC=>LA A nằm giữa L và C tức đường cao BL nằm ngoài tam giác ABC

      Tương tự đường cao CK nằm ngoài tam giác ABC

      Nên điểm cắt nhau của ba đường cao nằm ngoài tam giác

      Trả lời

    • Posted by Đào Thị Bích Ngọc on 15/04/2015 at 20:00

      thầy ơi giải hộ em bài 5 của đề thi ạ

      Trả lời

  7. phải làm sao thì mới chứng minh được

    Trả lời

  8. thầy có thể giảng cho con bài 62/SGK(trang 83) được không ạ

    Trả lời

  9. Posted by banba on 23/08/2013 at 15:52

    cho tam giác ABC vuông tại A, AB=6cm, Ac=8cm.Từ trung điểm M của cạnh BC vẽ đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt AC, AB theo thứ tự tại E,F.Tính diện tích tam giác MEC

    Trả lời

  10. Posted by nhat on 13/10/2013 at 19:30

    thầy ơi có thể giải giúp em bài tập này không ạ?
    Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=2AB trên tia đối của tia BA lấy D sao cho BD=BA trên D và c lần lượt vẽ các đường thẳng song song với AC cắt nhau tại E
    a. C/M ACED hình vuông
    b. Gọi F là trung điểm của ED chứng minh: tam giác ABC= DFA
    c.gọi m là giao điểm của AF và BC cm: BC vuông góc AF
    d.chứng minh EM=AC

    Trả lời

  11. Posted by Đào Thị Phương on 09/04/2014 at 23:38

    thầy ơi giúp em giải bài này được không ạ?
    cho tam giác nhọn ABC 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
    gọi N là giao điểm của CF và DE
    chứng minh : HF.CN=HN.CF

    Trả lời

  12. Posted by nhi on 26/04/2014 at 14:30

    thầy giúp con bài này với: cho tam giac ABC, AD,BE, CF là đường cao, H là trực tâm. chứng minh: H cách đều 3 cạnh tam giác EDF

    Trả lời

  13. Posted by vũ minh đức on 26/04/2014 at 16:12

    thầy ơi giảng cho em bài này với ạ
    cho tam giác ABC cân tại A,vẽ AH vuông góc với BC tại H,biết rằng AB=10cm,BH=6cm
    Chứng minh:
    a)AH=?cm
    b) tam giác ABC=tam giác ACH
    c)trên cạnh BA lấy điểm D,trên cạnh CA lấy điểm E sao cho BD=CE
    chứng minh:tam giác HDE can
    đ)AH là trung trực [DE]

    Trả lời

  14. Posted by Mai on 16/08/2014 at 15:35

    thầy ơi !! cho em hỏi muốn chứng minh trực tâm trong tam giác Tù thì phải làm sao ?
    Xin thầy cho em 1 ví dụ

    Trả lời

  15. Posted by ? on 30/08/2014 at 08:22

    thay oi ! cho em hieu ro~ hon ve cach’ tinh duog cao dk hk a. e chuan pi thi khao? sat dn lop 8 roi nhung phan do’ e con chua hieu?

    Trả lời

  16. Posted by Nguyễn Hùng Vĩ on 15/04/2015 at 19:47

    thầy ơi giải hộ em bài 5 của đề thi học kì 2 dc hk thầy

    Trả lời

    • a) Xét tam giác ABC cân tại A, ta có: tam giác ABC cân tại A => AB=AC
      AM là trung tuyến ứng với BC => BM = CM
      Xét tam giác AMB và tam giác AMC, ta có :
      Cạnh AM chung
      BM = CM ( chứng minh trên)
      AB = AC ( chứng minh trên)
      => tam giác AMB = tam giác AMC ( c.c.c)
      => góc AMB = góc AMC ( 2 góc tương ứng)
      Mà góc AMB + góc AMC = 180 độ ( 2 góc kề bù)
      => AMB = AMC = 180/2=90 độ ( đpcm)

      b) Có BM = CM ( chứng minh a)
      Mà M nằm giữa B và C nên BM + MC = BC
      => BM = CM = BC/2= 18/2=9(cm)
      Xét tam giác AMB vuông tại M,áp dụng định lý Py – ta – go, ta có :
      AB^2 = AM^2+BM^2
      => 15^2 = AM^2 + 9^2
      => 225 = AM^2 + 81
      => AM^2 = 144
      Mà AM > 0 => AM = căn bậc 2 của 144
      => AM = 12 (cm)
      Vậy AM = 12 cm
      c) Kẻ ID vuông góc với AB tại D
      IE vuông góc với Ac tại E
      Có AB = AC ( cm a) hay A cách đều 2 đầu mút của BC
      => A thuộc đường trung trực của BC
      => AI là đường trung trực của BC.(1)
      Có MB = MC ( cm a) hay M cách đếu 2 đầu mút của BC
      => M thuộc đường trung trực của BC
      => AM là đường trung trực của BC (2)
      Từ ( 1) và (2) => 3 điểm A,M,I thẳng hàng ( vì cùng thuộc đường trung trực của BC)

      Trả lời

  17. Thầy ơi cho em hỏi là tính chất đường trung trực, đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác của tam giác cân có được vận dụng ngay vào bài làm không hay là phải chứng minh ạ?

    Trả lời

Gửi THẢO LUẬN (Bài Tập - bài Giải - ý kiến ) : "Nói 9 - Làm 10"

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

Theo dõi

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 236 other followers

%d bloggers like this: