Phương pháp tính tổng dãy số có a phần tử các phân số có dạng n/a.(a+n)

Phương tính tổng dãy số phân số

Chứng minh công thức :

\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n} =\frac{n}{a(a+n)}

ta có :

\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n} = \frac{a+n}{a(a+n)}-\frac{a}{a(a+n)}

=\frac{a+n-a}{a(a+n)}

=\frac{n}{a(a+n)} -> đpcm.

 Ứng dựng tính tổng :

————————————-

bài 1 :

A = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} +...+ \frac{1}{2014.2015}

Nhận xét :

+ n = 1

+ dãy số có 2014 phần tử

+ a thuộc {1; 2; …; 2014}

+ Áp dụng công thức cho từng phân số : \frac{1}{a}-\frac{1}{a+n} =\frac{n}{a(a+n)}

Giải.

ta có :

\frac{1}{1.2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}         [a = 1; n = 1]

\frac{1}{2.3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}        [a = 2; n = 1]

\frac{1}{2014.2015} = \frac{1}{2014} - \frac{1}{2015} [a = 2014; n = 1]

cộng các phân số trên, ta được :

A=(\frac{1}{1} - \frac{1}{2})+(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})+ ... +(\frac{1}{2014} - \frac{1}{2015})

A=\frac{1}{1} - \frac{1}{2}+\frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{2014} - \frac{1}{2015}

A=\frac{1}{1} - \frac{1}{2015}

A=\frac{2015-1}{2015}=\frac{2014}{2015}

Vậy : A=\frac{2014}{2015}

————————————-

Bài 2 :

B = \frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} +...+ \frac{2}{2013.2015}

Nhận xét :

+ n = 2

+ dãy số có (2013 – 1) : 2 + 1 phần tử

+ a thuộc {1; 3; …; 2013}

+ Áp dụng công thức cho từng phân số : \frac{1}{a}-\frac{1}{a+n} =\frac{n}{a(a+n)}

Giải.

ta có :

\frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}         [a = 1; n = 2]

\frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}        [a = 3; n = 2]

\frac{2}{2013.2015} = \frac{1}{2013} - \frac{1}{2015} [a = 2013; n = 2]

cộng các phân số trên, ta được :

A=(\frac{1}{1} - \frac{1}{3})+(\frac{1}{3} - \frac{1}{5})+ ... +(\frac{1}{2013} - \frac{1}{2015})

A=\frac{1}{1} - \frac{1}{3}+\frac{1}{3} - \frac{1}{5}+ ... +\frac{1}{2013} - \frac{1}{2015}

A=\frac{1}{1} - \frac{1}{2015}

A=\frac{2015-1}{2015}=\frac{2014}{2015}

Vậy : A=\frac{2014}{2015}

————————————-

Bài 3 :

C = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} +...+ \frac{1}{2013.2017}

Giải.

4C = \frac{4}{1.5} + \frac{4}{5.9} +...+ \frac{4}{2013.2017}

ta có :

\frac{4}{1.5} = \frac{1}{1} - \frac{1}{5}         [a = 1; n = 4]

\frac{4}{5.9} = \frac{1}{5} - \frac{1}{9}        [a = 5; n = 4]

\frac{4}{2013.2017} = \frac{1}{2013} - \frac{1}{2017} [a = 2013; n = 4]

cộng các phân số trên, ta được :

4C=(\frac{1}{1} - \frac{1}{5})+(\frac{1}{5} - \frac{1}{9})+ ... +(\frac{1}{2013} - \frac{1}{2017})

4C=\frac{1}{1} - \frac{1}{5}+\frac{1}{5} - \frac{1}{9}+ ... +\frac{1}{2013} - \frac{1}{2017}

4C=\frac{1}{1} - \frac{1}{2017}

4C=\frac{2017-1}{2015}=\frac{2016}{2015}

Vậy : C=\frac{504}{2015}

 

 

 

Gửi THẢO LUẬN (Bài Tập - bài Giải - ý kiến ) : "Nói 9 - Làm 10"

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s

%d bloggers like this: